Minimaler Abstand zu Punkt auf Ellipse

Question

Aufgabe:

Es soll der kleinste Abstand zwischen einem Punkt P₁(x₀,0) mit 0 ≤ x₀ ≤ 2 auf der positiven x-Achse und einem Punkt P₂(x,y) auf der Ellipse mit x²/4 + y² = 1 bestimmt werden.

Problem/Ansatz:

Ich hatte mir überlegt erst die kritischen Punkte der Abstandsfunktion zwischen den Punkten P₁ und P₂ zu bestimmen und in diese dann die Nebenbedingung der Ellipse für x und y einzusetzen. Wäre das eine Möglichkeit?

Comments

Hallo
was soll denn variiert werden x0? dann ist doch der kleinste Abstand einfachbei x0=x  und der Abstand ist y , da x0 ja innerhalb der Ellipse liegt.
Gruß lul

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Ich denke, dass vielmehr zu jedem festen P1 der Punkt P2 mit minimalem Abstand zu P1 gesucht wird, also P2 als Funktion von x0.

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Ja genau x₀ soll in dem vorgegebenen Intervall variiert werden und entsprechend sollte dann der Punkt mit dem minimalen Abstand auf der Ellipse von x⁰ abhängen. x = x₀ geht nicht, da auf der Ellipse liegen muss.

Answer 1

Hallo,

der Punkt (x,y) auf der Ellipse , der von x0 den Kleinsten Abstand hat ist entweder (2,0) oder  die 2 Ellipsenpunkte mit der x-Koordinate x0

also x0>1,2 (2,0) ist der nächste Punkt ;  x<1,2  , (x0,±√(1-x0^2/4) sind die nächsten Punkte

lul

Comments

die 2 Ellipsenpunkte mit der x-Koordinate x0

Das trifft nicht zu.

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Ich würde auch sagen, dass das so nicht stimmen kann.

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@D : Dein Ansatz war völlig richtig. Verfolge ihn weiter und füge am Schluss eine Korrektur ein.

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Hallo gast hj

kannst du sagen, warum das nicht zutrifft?

lul

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Für P1 =(1,2|0) gilt für P2a = (1,2|0,8), dass d = √0,64 ist und auch für P2b = (2|0), dass d = √0,64 ist, aber für P2c =  (1,8|√0,19), wird d = √0,55, was kleiner ist und sogar noch nicht einmal das Minimum.

Answer 2

\(d^2=(x_0-x)^2+y^2\) soll minimal werden.   \( y^2=1-0,25x^2\)

\(d^2(x)=(x_0-x)^2+1-0,25x^2\)

\( \frac{d^2(x)}{dx}=2(x_0-x)\cdot(-1) -0,5x\)

\( 2(x_0-x)\cdot(-1) -0,5x=0\)

\( -2x_0+2x -0,5x=0\)

\( 1,5x=2x_0\)

\( x=\frac{4}{3}x_0\)

Wenn ich ich mir die Zeichnung anschaue, müsste aber \(x=x_0\) sein.

Wo steckt der Fehler?

Comments

Wo steckt der Fehler?

in der Zeichnung, bzw. in Deiner Vorstellung, wenn Du dieselbe betrachtest.

Meine Zeichnung sieht so aus:

https://www.desmos.com/calculator/q8ffqfayfj

\(P_1\) lässt sich verschieben.

\(x=\frac{4}{3}x_0\) ist korrekt. Ansonsten ist noch der Fall zu betrachten, wenn \(P_1\) dem Punkt \((2,0)\) zu nahe kommt.

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Danke dir für deine Erklärung!