Bestimmen Sie einen Wert von alpha so, dass es keine Schwankungen beim Abklingverlauf gibt

Question

Das Abklingen einer vom Tageslicht abhängigen Schadstoffbelastung kann durch Gabe eines teuren Wirkstoffs beeinflusst werden; der Zusammenhang wird durch die Funktion

S(t) = e^{alpha*t+sin*t}

beschrieben, wobei alpha > 0 die Menge des zugegebenen Wirkstoffs angibt. Bestimmen Sie einen Wert von alpha so, dass es keine Schwankungen beim Abklingverlauf gibt, also so dass er monoton fallend verläuft, wobei die Kosten so gering wie möglich ausfallen sollen.

Comments

eine Nachfrage : sin * t was ist das ? Sicherlich ist sin(t) gemeint ?

Falls ja : die sin-Funktion abwechselnd fallend  bzw. steigend. Die Gesamtfunktion müßte

das auch sein.

mfg Georg

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danke! ja genau sin(t)


und wie bestimme ich alpha

Answer 1

s(t) = e^{ a * t + sin(t)} Ι e hoch ( a * t + sin(t) ) ; a steht für alpha

Monton fallend bedeutet : die erste Ableitung ist stets negativ.
1.Ableitung
s´(t) = e^{a * t + sin(t)} * ( a  + cos(t) )
Die e-funktion ist immer positiv also muß
( a + cos(t) ) < 0 sein
die cos-Funktion schwankt zwischen -1..1 also ist

alpha < -1

mfg Georg

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Comments

wow super gut! Tausend dank! Jetzt kann ich das endlich mal nachvollziehen

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+oh sorry, ich hab was falsch gemacht, denn es heißt eigentlich e^-a*t+sin(t)


macht das was aus?

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dann ist die ableitung e^{sin(t)-alpha*t}*cos(t)-alpha

und dann muss ja alpha = +1 sein, damit die ableitung negativ ist oder?

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s(t) = e ^{a * t + sin(t)}

Die erste Ableitung von [ e^Exponent ] ist doch

[ e^Exponent ] * Ableitung(Exponent)

Ableitung Exponent = Ableitung ( a * t + sin(t) ) = a + cos(t)

s´(t) = e ^{a * t + sin(t)}  * ( a + cos(t) )

also dasselbe wie in meiner Antwort.

mfg Georg

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ne es ist nicht e^{a*t+sin(t)} sondern e^{-a*t+sin(t)} (hoch - a ) ich habe beim abschreiben der aufgabe das - vor dem alpha vergessen.

und man kann alpha wirklich so genau bestimmen, weil ich dachte man bräuchte dafür einen wert für t?

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Stets fallend bedeutet dann ( -a + cos(t) ) < 0

Die cosinus-Funktion kann Werte zwischen -1 und 1 annehmen. Egal welches t ich einsetze.
Und zwar sowohl nach -unendlich bis +unendlich Am besten du suchst dir im Internet mal einen Funktionsplotter.

Die obige Ungleichung kann umgeformt werden zu

-a < -cos(t)
a > cos(t). Der größte Wert für cos(t) wäre 1.

a > 1 ( stimmt für alle t )

Gib im Funktionsplotter einmal die Ausgangsfunktion mit a = 0.5 und einmal mit a = 1.5 ein.
Mit a = 1.5 müßte die Funktion fallend sein.

mfg Georg

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Okay, alles klar, jetzt habe ich es verstanden ;)! Vielen Dank