Um die Aufgabe besser zu verstehen, ist es sinnvoll erst einmal ein Bild anzugucken:
$$f_t(x)=x^4-tx^2+2$$
Wenn die Minima auf der x-Achse liegen, hat die Funktion genau zwei Nullstellen.
$$0=x^4-tx^2+2~~~~~~~~~z=x^2; z^2=x^4; x=\pm\sqrt z$$
$$ 0=z^2-tz+2 $$
$$ z_{12}=\frac{t}{2}\pm\sqrt{\frac{t^2}{4}-2} $$
Damit es genau zwei Nullstellen gibt, muss der Ausdruck unter der Wurzel gleich Null sein.
$$\frac{t^2}{4}-2=0\Rightarrow \frac{t^2}{4}=2 \Rightarrow t^2=8 \Rightarrow t=\sqrt 8 =2\cdot \sqrt 2 \approx 2,8284$$
Für \(\frac{t^2}{4}-2<0\) gibt es keine reelle Nullstelle, da unter der Wurzel dann eine negative Zahl steht.
Für \(\frac{t^2}{4}-2>0\) gibt es vier reelle Nullstellen, da \(\frac{t}{2}\pm\sqrt{\frac{t^2}{4}-2} \) zwei positive Werte für z liefert, sodass es vier Lösungen für x gibt. Bleibt noch zu klären, warum \(\frac{t}{2}-\sqrt{\frac{t^2}{4}-2} \) nicht negativ ist. Unter der Wurzel steht eine Term, dessen Wert kleiner als \(\frac{t^2}{4} \) ist. Damit gilt \(\frac{t}{2}>\sqrt{\frac{t^2}{4}-2} \) und damit \(\frac{t}{2}-\sqrt{\frac{t^2}{4}-2} >0\).
