Funktionenschar: f(x) = x^4 - kx^2+2 d) gibt es einen Wert für k, so dass ein Minimum auf der x-Achse liegt?

Question

Aufgabe:

f(x) = x^4 - kx^2+2

d) gibt es einen Wert für k, so dass ein Minimum auf der x-Achse liegt?

e) gitb es einen Wert für k, so dass ein Minimum auf der Geraden y = x liegt?


Problem/Ansatz:

Brauche Hilfe!
Ich versteh nicht wie ich die aufgaben lösen soll

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Gibt es einen Wert für k, so dass ein Minimum auf der x-Achse liegt

Stichworte: parametergleichung

Aufgabe:

f(x) = x²  - kx² +2

d) gibt es einen Wert für k, so dass ein Minimum auf der x-Achse liegt?

e) gitb es einen Wert für k, so dass ein Minimum auf der Geraden y = x liegt?

Problem/Ansatz:

Brauche Hilfe!

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f(x) = x^2 - k·x^2 + 2 = (1 - k)·x^2 + 2

d) gibt es einen Wert für k, so dass ein Minimum auf der x-Achse liegt?

nein.

e) gitb es einen Wert für k, so dass ein Minimum auf der Geraden y = x liegt?

nein.

Ich vermute mal du hast die Funktion verkehrt wiedergegeben.

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nein habe ich nicht

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Ok. Dann war der Lehrer zu schusselig die Aufgabe zu stellen. Auf jedenfall kannst du dann beide Fragen mit nein beantworten weil sich der Scheitelpunkt immer bei (0|2) befindet. Mal k ≠ 1 angenommen weil man für k = 1 eine horizontale Gerade hat.

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Ich gehe mal davon aus, dass das zweite x² eigentlich nur ein x sein soll und die Funktion eigentlich

f(x)=x²-kx+2 sein soll.

Sie hat -falls welche existieren- die Nullstellen k/2±√(k²/4-2), und für k=±√8 falle die zwei Nullstellen zu einer zusammen (also Scheitelpunkt auf der x-Achse).

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"Ich vermute mal du hast die Funktion verkehrt wiedergegeben."

"nein habe ich nicht"

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Ja ist mir grad aufgefallen.Tut mir leid

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Jetzt geht es um eine andere Funktionenschar.

Habe den Rest mal umgeleitet/weggenommen.

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gibt es einen Wert für k, so dass ein Minimum auf der x-Achse liegt?

Das wird schwer, weil die Funktion für jedes \(k∈ℝ\) achsensymmetrisch zum Ursprung ist; es somit nur 2 Minima auf der x-Achse geben kann.

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Ja ist mir grad aufgefallen.Tut mir leid

Für k >0

Answer 1

f(x) = x^4 - kx^2+2

Berechne einfach allgemein wo ein Minimum sein kann:

f ' (x) = 4x^3 - 2kx = 0

           x=0  oder  4x^2 - 2k = 0 
                                x = ±√(k/2)

f ' ' (x) =  12x^2 - 2k

f ' ' (±√(k/2) )  6k - 2k = 4k  > 0 für k>0 .

Also ist bei allen k>0 ein Minimum bei ±√(k/2)

mit dem Tiefpunkt ( ±√(k/2)  ; 2-k^2 / 4 )

Der liegt auf der x-Achse falls    2-k^2 / 4  = 0  also k=√8.

Bleibt x=0 zu prüfen:  f ' ' (0) = -2k > 0 für k<0.

Also ist für k<0 ein Tiefpunkt bei ( 0 ; 2), also nicht auf der

Nicht abgedeckt ist der Fall k=0, da ist jeweils die 2. Abl. auch 0.

Die Funktion ist dann aber  f(x) = x^4 + 2 . Einziger

Tiefpunkt bei (0;2), also nicht auf der x-Achse.

Minimum auf y=x kann allenfalls der bei   ( ±√(k/2)  ; 2-k^2 / 4 )

sein , da zu müsste   ±√(k/2)  = 2-k^2 / 4   gelten

also        ±4√(k/2)  = 8-k^2

                16*k/2 = 64 - 16k^2 + k^4

          0 =  k^4 -16k^2 -8k + 64

Das hat Lösungen für k=2 und ungefähr k=3,66

d) gibt es einen Wert für k, so dass ein Minimum auf der x-Achse liegt?

e) gitb es einen Wert für k, so dass ein Minimum auf der Geraden y = x liegt?

Answer 2

Hallo

geht es jetzt um f(x) = x^4 - kx^2+2 dann mach folgendes:

f' bilden und 0 setzen, die beiden Werte x1 und x2  in f(x) einsetzen, k so bestimmen, dass f(x1)=0 oder f(x2)=0 soweit für a)

für b) müsste f(x1)=x1 oder f(x2)=x2 sein wieder suchen, ob es so ein k gibt.

Gruß lul

Answer 3

f(x) = x^4 - k·x^2 + 2

f'(x) = 4·x^3 - 2·k·x = 2·x·(2·x^2 - k) = 0 → x = 0 (HP) oder x = ±√(k/2) (TP) für k > 0

f(√(k/2)) = 2 - k^2/4 = 0 --> k = ±2·√2

Für k = 2·√2 ist ein Minimum auf der x-Achse.

f(√(k/2)) = 2 - k^2/4 = √(k/2) --> k = 2

Für k = 2 ist ein Minimum auf der Geraden y = x.