Wie bestimmt man die obere Grenze des Integrals?

Question

Bestimmen Sie n > 1 so, dass 1/x dx = ln x dx -> wie geht das Integralzeichen?
also die obere grenze ist n und die untere 1

Answer 1

Meinst du 

∫ _{1 bis n} (1/x) dx = [ln(x)] _{1 bis n} = ln(n) - ln(1) = ln(n) 

Nun hast du allerdings keinen Wert der bei dem Integral herauskommen soll. Da denke ich mir jetzt einfach mal A aus. Also 

ln(n) = A

Das wäre jetzt nach n aufzulösen

n = e^A

Damit ist dann die obere Grenze e^A

Comments

Wenn ich es richtig verstanden habe, dann soll das Integral der Funktion 1/x gleichgroß sein wie das Integral der Funktion ln(x). Also ich hoffe mal, dass das gemeint war. ^^

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Ja. Das macht vermutlich mehr Sinn.

Answer 2

Das Integralzeichen ist bei den Sonderzeichen zu finden, oder alternativ lässt es sich in dem Formeleditor-Tool schreiben. :)

Bei der gegebenen Aufgabe muss man die Gleichung, die gelten soll, aufstellen, und anschließend das n praktisch wie eine normale Zahl betrachten, mit der man rechnet. Man bildet also die Stammfunktionen und setzt dann jeweils das n und die 1 dort ein. Das x fällt ja dann automatisch weg und so kann man die Gleichung nach n auflösen.

₁∫ⁿ 1/x dx = ₁∫ⁿ ln(x) dx   | Stammfunktionen bilden
[ln(x)]₁ⁿ = [x (ln(x) - 1)]₁ⁿ   | Integralgrenzen einsetzen
ln(n) - ln(1) = n (ln(n) - 1) - 1 (ln(1) - 1)   | vereinfachen, ln(1) = 0
ln(n) = n (ln(n) - 1) + 1   | - ln(n)
0 = n (ln(n) - 1) - ln(n) + 1   | (ln(n) - 1) ausklammern
0 = (ln(n) - 1) (n + (- ln(n) + 1) / (ln(n) - 1))   | vereinfachen
0 = (ln(n) - 1) (n - 1)   | wenn ein Produkt gleich 0 sein soll, muss einer der Faktoren gleich 0 sein
ln(n) - 1 = 0   | + 1   ∨   n - 1 = 0   | + 1
ln(n) = 1   | zur Basis e potenzieren   ∨   n = 1
e^ln(n) = e¹   ∨   n = 1
n = e   ∨   n = 1

Da n > 1 sein soll, kommt als Lösung nur n = e in Frage. ;)

Answer 3

n > 1 so, dass 1/x dx = ln x dx

∫ 1/x * dx = ln(x)
1..n [ ln(x)]
ln(n) - ln(1)
ln(n)

∫ ln(x) * dx = x * ln(x) - ln(x)
1..n [ x * ln(x) - ln(x) ] = n * ln(n) - n - [  1 * ln(1) - 1 ]
n * ln(n) - n + 1

Nun soll sein
n * ln(n) - n + 1 = ln(n)

Eine Lösung kann man " sehen " : n = 1
entfällt aber da n > 1 sein soll
Die zweite Lösung ist n = e

Ich habe eine Funktionsplotter für die Gleichung
n * ln(n) - n + 1 - ln(n)
bemüht.

Will man rechnen könnte man das Newtonsche Näherungsverfahren anwenden.

mfg Georg

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Comments

angeregt durch mattok und weil es noch einfacher geht

n * ln(n) - n + 1 - ln(n) = 0
n* ( ln(n) - 1)  + 1 - ln(n) = 0
n* ( ln(n) - 1 ) - ( ln(n) - 1) = 0
( ln(n) -1 ) * ( n - 1 ) = 0

ln(n) -1 = 0
n = e

n -1 = 0
n = 1 ( entfällt )

mfg Georg

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vielen lieben Dank für jede Mühe :)