f:[a,b] ->R, a<b, stetig

Question

Ich bin mir nicht ganz sicher bei den Lösungen, vielleicht habe ich ja das ein oder andere übersehen. Wäre nett, wenn jm mir sagen könnte, was davon stimmt und was nicht.

ich habe folgende Vorschläge :

a) falsch, da nur weil das Integral von f(x) auf dem Intervall [a,b] = 0 ist, die Funktion mit den Funktionswerten auf dem Intervall nicht unbedingt Null sein muss. (Gegenbsp f(x)=2x und I =[-3,3])

b) in dem Fall richtig, da beim Tauschen der Integralgrenzen sich das Vorzeichen ändert, aber da die Lösung vom Integral f(x)dx ohnehin als Null definiert ist, spielt das hier keine Rolle. (+/-0)

c) richtig, da für das Quadrat der Funktion sich an der Lösung nichts weiter ändert. F(b)-F(a)=0 bleibt bestehen.

d)  im Gegensatz zur Aufgabe a) wird hier nur nach EINEM Wert gefragt, für den f(x) auf dem Intervall [a,b] Null wird. Z.B.: f(x)=2x=0 dann wäre x=0 und auf dem Intervall [-3,3] für F(x)=0:  F(3)-F(-3)=0

Answer 1

a und b sind richtig begründet.

Bei c musst du nochmal überlegen.

Und bei d hast du nur ein Beispiel gefunden; das beweist aber nicht, dass die Aussage für alle Funktionen gilt. Das kannst du z.B. mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung machen. Wenn du den noch nicht kennst, geht auch ein Widerspruchsbeweis mit dem Zwischenwertsatz.