Sei f(x) in [a,b] => R stetig, zeigen sie, das gilt: Integral von a bis b f(x) dx= Integral von a bis b f(a+b-x) dx

Question

Aufgabe:

Sei f(x) in [a,b] => R stetig, zeigen sie, das gilt: Integral von a bis b f(x) dx= Integral von a bis b f(a+b-x) dx

Answer 1

Eine Stammfunktion von \(f(a+b-x)\) ist \(-F(a+b-x)\). Wende dann den Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung an. Weise vorher nach, dass dies auch wirklich eine Stammfunktion ist.

Answer 2

Wende zum Beispiel die Substitution

\(x=a+b-t\) mit \(t\in[a,b]\) an und beachte,

dass man die Integrationsvariable umbenennen darf:

\(\int_a^bf(x)\, dx \stackrel{x=a+b-t}{=} \int_{\color{blue}b}^{\color{blue}a}f(a+b-t)\cdot \underbrace{(-1)}_{\frac{dx}{dt}}\, dt = ...\)

\(... = \int_{\color{blue}a}^{\color{blue}b}f(a+b-t)\, dt \)

\(... \stackrel{umbenennen}{=} \int_{a}^{b}f(a+b-x)\, dx \)