Zeige das M mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe ist

Question

ich habe eine Aufgabe bei der ich zeigen soll, dass die gegebene Matrix mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe ist, hier mal die genaue Aufgabenstellung:

$$Zeigen\quad Sie,\quad dass\quad M:={ M }_{ 1 }={ M }_{ 2 }\quad mit\quad der\quad Matrixmultiplikation\quad eine\quad Gruppe\quad ist.\quad Entscheiden\quad Sie,\quad ob\quad die\quad Gruppe\quad (M,*)\quad abelsch\quad ist.$$

In der Aufgabe zuvor sollte ich zeigen, dass die beiden Matrizen gleich sind, habe ich schon gemacht.

Ich habe bereits das inverse und das neutrale Element, jedoch steh ich irgendwie bei der algebraischen Gruppe auf dem Schlauch und komme nicht weiter ... 

Kann mir da jemand eventuell weiter helfen? ;-)

Lipsen

Comments

Wie zeigt man, dass die Mengen gleich sind?

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Weil es sich bei M1 um die drehmatrix des R2 handelt hab ich das mit dem rechtwinkligen dreieck gelöst

also mittels satz des pythagoras und winkelfunktionen gezeigt das es das selbe ist

Answer 1

da du bereits ein neutrales Element und die inversen Elemente angegeben hast, musst du nur noch zeigen, dass das Produkt zweier Matrizen wieder ein Element der Gruppe ist.

Das Produkt zweier Matrizen muss wieder eine der beiden obigen Darstellungen haben.

Die Kummutativität der Gruppe zeigst du über den direkten Beweis der Gleichung \( A B = B A \) für beliebige Elemente \( A \) und \( B \) der Gruppe.

MfG

Mister

Comments

Hi,
erstmal danke für die Antwort ;-)
Genau, aber wie zeige ich das das Produkt zweier Matrizen die obige Darstellung hat...?^^

Nehme ich jetzt z.b. die inverse Matrix komme ich ja auf die Einheitsmatrix, also das neutrale Element.



sieht für mich jetzt auf Anhieb nicht wirklich so aus als hätte das die Darstellung einer der beiden Matrizen ... ^^ 
Und wenn ich mit der Einheitsmatrix multipliziere kommt ja auch nur eine der beiden Matrizen wieder raus und das ist ja nicht gerade aussagekräftig finde ich ^^ 

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Du nimmst die zweite Darstellung (\( M_2 \)) und schreibst zwei Matrizen \( A \) und \( B \) auf, von denen du die erste mit \( a \) und \( b \) parametrisierst und die zweite mit \( c \) und \( d \).

Beim Matrixprodukt stellst du fest, dass alle Einträge der Produktmatrix aus \( \mathbb{R} \) sind, da es sich um Summen von Produkten reeller Zahlen handelt.

Darüberhinaus zeigst du, dass die Einträge auf der Diagonalen der Produktmatrix gleich sind und die Nicht-Diagonal-Elemente sich nur im Vorzeichen unterscheiden.

Zu guter Letzt zeigst du, dass für die neue Matrix gilt, dass das Quadrat eines Diagonalelementes summiert mit dem Quadrat eines Nicht-Diagonalelementes gleich Eins ergibt.

(Welches Nicht-Diagonalelement du dabei nimmst ist egal, denn die Quadrate der Nicht-Diagonalelemente sind identisch.)