Ungleichungen zeigen: .... ≤ ln(1+x)≤ x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3

Question

Ich komme leider nicht darauf wie ich die folgende Aufgabe lösen soll:

Comments

Exakt dieselbe Aufgabe wurde schon letzte Woche durchgekaut. Benutze die Suche.

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habe ich gefunden, aber die wurde ja nicht ganu gelöst

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Ach so, Du suchst eine Komplettloesung zum abschreiben ...

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nein, die suche ich natürlich nicht, aber für die aufgabe sollen keine restglieder verwendet werden, deshalb bringt mir dieser ansatz nicht viel

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Das machst Du mir nicht weis.

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also ich stelle hier in diesem forum eine frage, weil ich etwas NICHT verstehe. Wenn du mich nun auf ein Thema hinweis, bei dem die Antwort bei mir nur noch als verwirrender als die Frage ankommt, darf ich dann nicht erwarten das meiner Frage weiter nachgegangen wird?

Stattdessen kommt dann dieser unhöfliche Mist von dir....Wenn du hier nicht antworten willst solltest du auch nicht schreiben!

Ich hoffe es findet sich hier noch jemand, der mir meine Frage vielleicht verständlich beantworten kann

Answer 1

mit dem Tipp gilt

ln(1+x) = x -x^2/2 +x^3/3 - x^4 / 4 + .... 

Da die Reihe alternierende Vorzeichen hat ist ln(1+x) sicherlich ≤ der Summe der ersten 3 Summanden.

(Das ist die rechte "Hälfte" deiner Ungleichung.)

und der Term  ( x / ( 1+x) ) ^3 auf der linken Seite ist ( 1 -  1 / ( 1+x) ) ^3 

Comments

ich verstehe noch nicht so ganz was du auf der linken Seite genau meinst

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Argument mit Leibniz geht nur in (0,1]. Das ist nicht der Bereich der Aufgabe.

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ich weiß gerade nicht was jetzt plötzlich Leibnitz damit zu tun hat

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Kann hier vielleicht noch jemand helfen  ?

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niemand der etwas weiß ?

Answer 2

Alternativ zum Hinweis definiere für \(x>-1\) die Funktion \(f\) durch
\(f(x):=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\ln(1+x)\).
Es ist \(f'(x)=\dfrac{x^3}{1+x}\ge0\) für alle \(x\ge0\), d.h. \(f\) ist monoton steigend.
Es folgt \(f(x)\ge f(0)\) für alle \(x\ge0\) und damit die rechte Ungleichung.