Ungleichungen mit Mittelwertsatz beweisen: ln(1+x) ≤ x/(√(1+x)) für x>0. EDIT: Intervall [0,x]

Question

Kann jemand mir erklärend zeigen wie ich die Aufgaben lösen kann?

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Die Fußnote 

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Wie löst man b)?

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????????????????

Answer 1

Betrachte  f(x) = x / √(x+1)  -  ln(1+x)   Das müsste ja dann immer ≥ 0 sein.

das hat die Ableitung  f ' (x) = (x+2) / ( 2(x+1)√(x+1)  )  - 1 / (x+1)

=  ( x+1 - 2√(x+1) + 1) /   ( 2(x+1)√(x+1)  ) 

= (√(x+1) - 1)²  /   ( 2(x+1)√(x+1)  ) 

Ist also für alle x>0 positiv. 

Und es ist f(0) = 0

Gäbe es nun ein x>0 mit  f(x) < 0 dann gäbe es nach dem

Mittelwertsatz ein z aus  ]0;x[  mit  

( f(x)  - f(0))  /  ( x - 0 )  =  f ' (z) 

<=>  f(x)  /  x  =  f ' (z) 

Und das ist ein Widerspruch, denn wäre links etwas negatives

und rechts etwas positives..

Comments

Es soll das Intervall [0,x] betrachtet werden.

Und wie löst man b??