Meine Beweisidee ist hier:
Sei f(t)=ln(t). Die Funktion ist im Intervall [x,y] differenzierbar.
Des Weiteren gilt f'(t)=1/t.
Nach dem Mittelwertsatz muss es also ein c aus (x,y), für welches gilt:
f'(c)=(f(y) - f(x))/(y-x)
<=> f'(c)(y-x)=f(y) - f(x)
=> (y-x)/c=ln(y) - ln(x)=ln(y/x).
Nun schätzen wir das c aus (x,y) mittels Supremum und Infinum ab.
Es folgt:
sup ((y-x)/c)=(y-x)/x >= ln(y/x) und
inf ((y-x)/c)=(y-x)/y <= ln(y/x)
Folglich muss die obenstehende Ungleichung gelten.
