Beweis Ungleichung (y-x)/y ≤ ln(y/x) ≤ (y-x)/x, wenn 0<x<y mit Mittelwertsatz

Question

ich soll mit Hilfe des Mittelwertsatzes zeigen, dass die folgende Ungleichung gilt:


Mein Hauptproblem ist, dass ich keine Ahnung habe, mit welchem Intervall oder mit welcher Funktion ich arbeiten muss/kann.



Liebe Grüße!

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Habe die Lösung gerade gefunden. Vielen Dank trotzdem.

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Wär doch schön wenn Du sie auch mal posten könntest.

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Meine Beweisidee ist hier:

Sei f(t)=ln(t). Die Funktion ist im Intervall [x,y] differenzierbar.

Des Weiteren gilt f'(t)=1/t.

Nach dem Mittelwertsatz muss es also ein c aus (x,y), für welches gilt:

f'(c)=(f(y) - f(x))/(y-x)

<=> f'(c)(y-x)=f(y) - f(x)

=> (y-x)/c=ln(y) - ln(x)=ln(y/x).

Nun schätzen wir das c aus (x,y) mittels Supremum und Infinum ab.

Es folgt:

sup ((y-x)/c)=(y-x)/x >= ln(y/x)  und

inf ((y-x)/c)=(y-x)/y <= ln(y/x)

Folglich muss die obenstehende Ungleichung gelten.

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Sehr schön                     

Answer 1

Kann also geschlossen werden

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Ist richtig, kann auf Wunsch aber auch noch meine Lösung reinstellen.