Wie kommt man auf diesen Beweis? Ungleichung mit Wurzel. Mittelwertsatz anwenden, warum und wann?

Question

Mittelwertsatz der Differenzialrechnung anwenden.

Wie kommt man auf diesen Beweis, kann es irgendwie nicht nachvollziehen?

$$Aufgabe:\\ Zeigen\quad Sie\quad mit\quad hilfe\quad des\quad Mittelwertsatzes,\quad dass\\ \sqrt { 1+x } \le \quad 1+\frac { x }{ 2 } \quad für\quad alle\quad x>0\\ \\ Lösung:\\ Für\quad x=0\quad gilt\quad die\quad Ungleichung.\quad Daher\quad sei\quad x>0.\quad Die\quad Funktion\\ y\mapsto \sqrt { 1+y } \quad ist\quad in\quad y=x\quad differenzierbar.\quad Nach\quad dem\quad MWS\quad existiert\quad ein\\ a\in ]0,x[\quad mit\\ \frac { 1 }{ 2\sqrt { 1+a }  } =\frac { \sqrt { 1+x } -\sqrt { 1+0 }  }{ x-0 } =\frac { \sqrt { 1+x } -1 }{ x } \\ \\ Das\quad bedeutet,\quad es\quad gilt\quad \sqrt { 1+x } \le 1+\frac { x }{ 2\sqrt { 1+a }  } \le 1+\frac { x }{ 2 } ,\quad da\quad \sqrt { 1+a } \ge 1$$

Was verstehe ich nicht:

1) Warum vertauscht man y und x?

2) wie kommt man auf $$1+\frac { x }{ 2\sqrt { 1+a }  } $$ ?

3) Warum wird hier der MWS angewandt, also was bringt er hier oder generell genau?

Comments

@3) Hier steht, dass du den MWS anwenden sollst. Darum musst du ihn auch verwenden in der Antwort.

@1) Man braucht vielleicht eine andere Variabelnbezeichnung in der Funktion, damit man nachher ohne Konflikt sagen kann, dass es ein x gibt.

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@3) Hier steht, dass du den MWS anwenden sollst. Darum musst du ihn auch verwenden in der Antwort.

@1) Man braucht vielleicht eine andere Variabelnbezeichnung in der Funktion, damit man nachher ohne Konflikt sagen kann, dass es ein x und ein a gibt.

Musst du unbedingt diesen Beweis verstehen? Die Behauptung wurde hier https://www.mathelounge.de/420062/ungleichung-mittelwertsatz-differentialrechnung-beweisen schon bewiesen. (Oder? )

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Hi, danke erstmal.

@3) Hier steht, dass du den MWS anwenden sollst. Darum musst du ihn auch verwenden in der Antwort.

Mir ging es um die allgemeine Anwendung des MWS bei solchen "Abschätzungen".

Musst du unbedingt diesen Beweis verstehen? Die Behauptung wurde hier https://www.mathelounge.de/420062/ungleichung-mittelwertsatz-differe… schon bewiesen. (Oder? )

Mein Hauptproblem ist, dass ich die Abschätzung nicht verstehe.

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Sollst du denn nicht den MWS der Differenzialrechnung benutzen?

Schau dir den einmal genau an und vergleiche dann mit dem Beweis im Link, den ich oben angegeben habe.

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Ja den soll ich benutzen, das dort oben ist nur die Musterlösung.

Den Link habe ich mir schon angeschaut, aber leider macht es nicht klick:)

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Ok. Ich präzsiere das in deiner Frage noch.

Du sagst am besten noch, welche Abschätzung du genau nicht verstehst.

Im Link gab es noch einen Tipp. Da war wahrscheinlich die Annahme, dass man selbst noch nicht auf diese Idee kommen muss.

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Du sagst am besten noch, welche Abschätzung du genau nicht verstehst.

$$1+\frac { x }{ 2\sqrt { 1+a }  } \le 1+\frac { x }{ 2 }$$

Also wie man darauf kommt, speziell auf die "1+" $$\frac { x }{ 2\sqrt { 1+a }  }$$

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Also wie man darauf kommt, speziell auf die "1+"

Bei jeder Ungleichung darf man links und rechts 1 addieren, ohne dass sich das Ungleichheitszeichen ändert.

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Es wurde doch aber auf der rechten Seite nichts dazuaddiert?

$$\quad \sqrt { 1+x } \le 1+\frac { x }{ 2\sqrt { 1+a }  } \le 1+\frac { x }{ 2 } ,\quad$$

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Betrachte die beiden Ungleichung separat. Du kannst sie nachträglich wieder zusammenhängen.

a < b < c

heisst

a < b UND b < c .

Answer 1

Laut Definition von \(a\) und \(x\) ist

(1)        \(\frac{1}{2\sqrt{1+a}}=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\).

Dabei stellt der Mittelwertsatz sicher, dass es zu jedem \(x>0\) ein passendes \(a\) gibt.

Diese Gleichung lässt sich umformen zu

(2)        \(\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2\sqrt{1+a}}\).

Also gilt insbesondere auch

(3)        \(\sqrt{1+x} \leq 1 + \frac{x}{2\sqrt{1+a}}\).

In Ungleichungen darf man die kleinere Seite verkleinern und die größere Seite vergrößern ohne dass die Ungleichung dadurch ungültig wird. Also gilt wegen (3) auch

(4)        \(\sqrt{1+x} \leq 1 + \frac{x}{2·1}\)

falls die Ersetzung von \(\sqrt{1+a}\) durch \(1\) eine Vergrößerung der rechten Seite ist.

Wegen \(1 \leq \sqrt{1+a}\) wurde durch die Ersetzung der Nenner eines Bruchs verkleinert. Dadruch wurde der Wert des Bruchs vergrößert. Also wurde durch die Ersetzung von \(\sqrt{1+a}\) durch \(1\) die rechten Seite vergrößert. Deshalb ist Ungleichung (4) tatsächlich gültig.