Ungleichung e^x >= 1+x für x ∈[0, ∞[ mittels Mittelwertsatz beweisen

Question 1

Hey:)

Ich soll diese Ungleichung mittels Mittelwertsatz beweisen:

e^x >= 1+x für x ∈[0, ∞[

Nun kann man ja einer der Seiten für f'(x) wählen.

Ich wähle hier e^x

Also ist e^x = (e^x-e^0)/(x-0) = (e^x-e^0)/x >1

Also existiert ein x>ξ>0 sodass die Ungleichung erfüllt ist

Question 2

Ist bekannt, welcher Mittelwertsatz genau gemeint ist?

Nun klar?

Question 3

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung,

siehe hier

Question 4

Bei Dir ist der Beweis nicht ganz richtig. Es ex. ein $ \xi \in [0 , \infty) $ mit

$$ 1 \le e^\xi = \frac{e^x - 1}{x -0} $$ Und daraus folgt $$ e^x \ge 1 + x $$

Question 5

Wieso auch gleich 1?

Question 6

$$ e^0 = 1$$

ullim · Answer 1 · 2017-05-13T06:15:49+0000

Bei Dir ist der Beweis nicht ganz richtig. Es ex. ein $ \xi \in [0 , \infty) $ mit

$$ 1 \le e^\xi = \frac{e^x - 1}{x -0} $$ Und daraus folgt $$ e^x \ge 1 + x $$

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