Ungleichung e^x >= 1+x für x ∈[0, ∞[ mittels Mittelwertsatz beweisen

Question

Hey:)

Ich soll diese Ungleichung mittels Mittelwertsatz beweisen:

e^x >= 1+x für x ∈[0, ∞[ 

Nun kann man ja einer der Seiten für f'(x) wählen. 

Ich wähle hier e^x

Also ist e^x = (e^x-e^0)/(x-0) = (e^x-e^0)/x >1

Also existiert ein x>ξ>0 sodass die Ungleichung erfüllt ist 

Comments

Ist bekannt, welcher Mittelwertsatz genau gemeint ist? 

Vergleiche mal mit https://www.mathelounge.de/124060/ungleichung-beweisen-mit-dem-mittelwertsatz-e-x-1-x-wobei-x-0 

Nun klar? 

---

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung,

siehe hier 

https://www.mathelounge.de/124060/ungleichung-beweisen-mit-dem-mittelwertsatz-e-x-1-x-wobei-x-0

Answer 1

Bei Dir ist der Beweis nicht ganz richtig. Es ex. ein \( \xi \in [0 , \infty) \) mit

$$ 1 \le e^\xi = \frac{e^x - 1}{x -0} $$ Und daraus folgt $$  e^x \ge 1 + x $$

Comments

Wieso auch gleich 1?

---

$$   e^0 = 1$$