e^x >= x+1 mit Mittelwertsatz

Question

ich sitze nun schon ewig an dieser Aufgaben und nochsoviele Youtube videos oder Forenbeiträge können mir nicht helfen.

Aufgabe:

Wie beweise ich, dass e^x >= x+1 ist?

Ich soll den Mittelwertsatz benutzen, ich weiß auch wie dieser funktioniert und was er bedeutet aber ich sehe keine relation wenn ich den MWS auf e^x anwende, was habe ich dadurch gewonnen im Bezug zu x+1?

Mit freundlichen Grüßen,

dariolo

Answer 1

sei x>y, dann existiert ein x_0 ∈(y,x) sodass laut MWS:

$$f'(x_0)=e^{x_0}=\frac{e^x-e^y}{x-y}\\ e^{x_0}(x-y)=e^x-e^y \\ y=0,-->e^{x_0}>=1\\ e^{x_0}x=e^x-1\\ x<=e^{x_0}x=e^x-1\\ x+1<=e^x$$

(Analog kannst du auch x=0 setzen, um die Ungleichung auch für negative Argumente zu zeigen)

Comments

Ok, soweit nachvollziehbar. Kannst du die letzten beiden Zeilen erklären? Warum ist:

e^(xo)*x = e^x -1?

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Das ist die zweite Zeile mit y=0 eingesetzt.