Dimensionssatz für Unterräume

Question

Hallo...

Ich lerne gerade Lineare Algebra und hab da ein Beispiel was mich etwas verunsichert. Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Es seien U und W die folgenden Unterräume von ℝ³:

U={x∈ℝ³:x₁+x₂+x₃=0}, W={x∈ℝ³:x₁=2x₃}

Man bestimme die Dimension von von U,W,U∩W und U+W

Man überprüfe anhand dieses Beispiels den Satz:

dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U∩W)

Es würde mir viel helfen wenn mir das jemand langsam vorrechnen könnte und mir erklärt warum was gemacht wird.

Lg und danke schon mal im Voraus

Answer 1

U={x∈ℝ³:x₁+x₂+x₃=0},

also gibt es zu jeder Wahl von x2 und x3  etwa x2=s und x3=t ein passendes x1

nämlich    x1 = -s - t also sehen die Elemente von U so aus:

( -s - t   ;    s    ;    t  )   =    s*( -1 ; 1 ; 0 ) + t * ( -1 ; 0 ; 1 )

die Vektoren  ( -1 ; 1 ; 0 ) , ( -1 ; 0 ; 1 )bilden eine Basis von U, also dim(U) = 2

entsprechend sind die Vektoren von W von der Form

( 2t ;  s ;  t ) = t* (2 ; 0 ; 1 ) + s*(0;1;0) also Basis

(2 ; 0 ; 1 ) , (0;1;0)  und dim(W) = 2 .

U∩W enthält alle Vektoren, bei denen beides gilt, also

x₁+x₂+x₃=0   und     x₁=2x₃  

also  2x₃+x₂+x₃=0   und     x₁=2x₃  bzw          

  ⇔ 4x₃+x₂=0   und     x₁=2x₃     

⇔ x₂= -4x₃  und     x₁=2x₃   

also kann man nur x3 beliebig wählen (etwa t) und hat

(   2t  ;   -4t ;   t )  =   t* ( 2 ; -4 ; 1 )

also dim( U∩W ) = 1

Die Basen von U und W zusammengenommen erzeugen U+W

und man sieht leicht, das ist ganz IR^3 .

Also dim (U+W) = 3

also 3 = 2 + 2 - 1   Passt !

Comments

Wow danke super Antwort. Eine Frage hätte ich allerdings noch:

Wie kommst du aus 2x₃+x₂+x₃=0 und x₁=2x₃ auf 4x₃+x₂=0?

Übersehe ich da was Grundlegendes?

Danke nochmals und Lg

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Oh ha, das müssen wohl  3x₃+x₂=0 sein.

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Ok dann Danke nochmals für die gute Antwort!