Grenzwert von Taylorpolynomen (cosh, sinh)

Question

Hie Leute :)

Ich brauch eure Hilfe bei:

   lim     [ ( cosh(x) - 1) / (x * sinh(x)) ]

(x->0)

Wir müssen es mit Taylorpolynomen lösen, deshalb hab ich zuerst das eingesetzt:

cosh(x) = 1+(x^2/2)+(x^4/4!)+(x^6/6!)+....

sinh(x) = 0+x+(x^3/3!)+(x^5/5!)+(x^7/7!)+....

Zuerst heben sich im Zähler die 1er auf und im Nenner multipliziert man die x mit dem Taylorpolynom von sinh(x).

Dann hab ich den Doppelbruch aufgelöst wodurch die x alle gekürzt wurden.

Jetzt steht nur mehr:

 lim    [ (1 + 3! + 5! + 7! + 9! +....) / (2 + 4! + 6! + 8! + 10! +...) ]

x->0

Aber davon kann man doch keinen Grenzwert bestimmen, weil es ∞/∞ wäre.

Bitte sagt mir was ich falsch gemacht habe und was ich tun muss damit es richtig ist.

LG und !

Answer 1

     Normale Menschen würden dich auf die ===> Additionsteoreme verweisen. Das ist ja der eigentliche Vorteil, dass wir diese e-Funktionen formal behandeln können wie Winkelfunktionen. Aus dem Kosinusteorem machst du im Zähler




       cosh  (  x  )  =  cosh  ²  (  x/2  )  +  sinh  ²  (  x/2  )        (  1a  )



      Jetzt steht da aber boch diese Eins; Pythagorasidentität




                                1  =  cosh  ²  (  x/2  )  -  sinh  ²  (  x/2  )        (  1b  )

         cosh  (  x  )  -  1  =  2  sinh  ²  (  x/2  )               (  1c  )




      Im Nenner hast du entsprechend das Sinusteorem 




           sinh  (  x  )  =  2  sinh  (  x/2  )  cosh  (  x/2  )              (  2  )



    D.h. indem wir die geeignete " Periodenlänge "  einführten, stellt sich deine Funktion g ( x ) doch heraus als nichts weiter als




     g  (  x  )  =  ( 1 / x )  f  (  x  )         (  3a  )


          mit


       f  (  x  )  :=  tgh  (  x/2  )          (  3b  )




     Dabei ist doch g in ( 3a ) nichts weiter als der  Differenzenquotient von f in ( 3b ) ; und " dem sein " Grenzwert ist die Ableitung f ' ( 0 )




       f  '  (  x  )  =  1 / 2 cosh  ²  (  x/2  ) ===>  1/2        (  3c  )