Limes bestimmen mit tanh, sinh, cosh

Question

Hi, kann mir jemand den Limes folgender Funktionen (gegebenenfalls auch die Rechenschritte) sagen?

 a) lim_x→0 (x − tanh(x)) / ( x − cosh(x))

b) lim _x->unendlich x(cosh(x)-sinh(x))

c) lim _x->0 (sinh (2x))/(sinh(x))

d) lim _x->unendlich Ar sinh(2x) − Ar cosh+(x) .

Grüße

 

 

Answer 1

zu a ) Lösung durch Einsetzen Lösung ist 0 .

zu b) Lösung durch L'Hospital  Lösung ist 0

Answer 2

Hi!

Zu c.)

sinh(x)=1/2*(e^x-e^-x)

cosh(x)=1/2*(e^x+e^-x)

sinh(2x)=2*sinh(x)*cosh(x)=2*1/2*(e^x-e^-x) *1/2*(e^x+e^-x)

Das in

(sinh (2x))/(sinh(x))

einsetzen bringt:

$$\frac { 2*1/2*({ e }^{ x }-{ e }^{ -x })*1/2*({ e }^{ x }+{ e }^{ -x }) }{ 1/2*({ e }^{ x }-{ e }^{ -x }) } $$

Kürzen!

=$$\frac { ({ e }^{ x }-{ e }^{ -x })*({ e }^{ x }+{ e }^{ -x }) }{ ({ e }^{ x }-{ e }^{ -x }) } $$

und schließlich:

$$({ e }^{ x }+{ e }^{ -x })$$

Wir setzen für x=0 ein und erhalten:

$$({ e }^{ 0 }+{ e }^{ 0 })$$ =2