Kurvendiskusion von einer Funktion

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabe .

Ich habe mal aufgeschrieben was ich hierzu denke und was meine Ideen sind . Für Stetigkeit betrachte ich zumal Zähler und Nenner. Zähler ist ein Polynom und daher stetig auf ganz ℝ. Der Nenner kann nicht Null sein weil x^2 immer positiv ist . Daher würde ich sagen es ergibt sich nie eine Definitionslücke bzw. ein Sprung.

Aus Stetigkeit kann ich Differenzierbarkeit folgern. Weil dies Voraussetzung dafür ist .

Für Monotonie gilt . wenn x2 ≥x1 dann f(x2)≥x1 für monoton wachsen . Fallend wäre mit ≤.Die Funktion zeigt jedoch kein konstantes Monotones Verhalten . Ich habe das Erkannt an dem ich die Funktion plotten habe lassen .

Für Krümmung muss man die 2te Ableitung Bilden . Wenn ich die Null setze kann ich mir die Wendepunkte errechnen die Mir auskunft darüber geben wo die Fuknktion von konkav in konvex bzw. umgekert wechselt.

Für die Nullstellen muss ich die Funktion Null setzen und x errechnen. Da hab ich rausbekommen -1 .

Lokale min/max sehe ich laut Grafik bei 0 und 2 . Jedoch wie beweise ich das?

Könnte mir jemand Helfen dieses Beispiel zu lösen ?

Bitte Danke.

Answer 1

Der Nenner kann nicht Null sein weil x² nie negativ (0 kann schon sein) ist .

Aus Stetigkeit kann ich Differenzierbarkeit folgern  Umgekehrt ist es richtig !!!

Und differenzierbar (nach Quot.regel) weil Quotient ganzrationaler Funktionen.

Besser untersuchst du Monotonie über  positive bzw. negative Ableitung.

Nullstelle stimmt.

Und Krümmung entsprechend mit der 2. Ableitung .

Für Krümmung muss man die 2te Ableitung Bilden . Wenn ich die Null setze kann ich mir die Wendepunkte errechnen die Mir auskunft darüber geben wo die Fuknktion von konkav in konvex bzw. umgekert wechselt.

Genau !

lok. Max und Minima wenn 1. Ableitung = 0 ist.

Comments

Hallo Mathef ;

Da hast du recht  mit x^2 kann 0 sein , was ich eigentlich meinte war der Nenner kann nicht 0 sein weil x^2≥0 ist und +1 noch dabei ist .

Asoo ich dacht immer aus Stetigkeit kann man Differenzierbarkeit folgern .Mit ganz Rationaler Funktion meinst du ein Poylnom in der Art  a1*x^2+a2*x *a3 ...?

Wie meinst du das Mit positiver und negativer Ableitung ? z.B Meinst du wenn f´(x) >0 ist dann gilt strenge monotonie ?

Die erste Ableitung berechnen , die 0 Setzen . Bekomme 2 Werte x1,x2 die ich dann in die Urspürngliche Funktion f(x) einsetze . Das sollte dann min/max ergeben , was bei 0 und 2 sein sollte . Verstehe ich das Richtig?