Bruchgleichungen: Bestimmen Sie die Definitionsmenge. Beispiel x/(x-4) + 2(x-6)/(x-4) = 3

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Definitionsmenge D:

15 a) \( 1+\frac{4}{2-x}=x \cdot \frac{x-4}{x-2}+3-x \)

15 c) \( \frac{8}{x-6}-\frac{5}{x-7}=\frac{8}{x-1}-\frac{5}{x+1} \)

15 e) \( \frac{x-\frac{2}{3}}{\frac{2 x}{3}-1}=\frac{\frac{3 x}{2}-\frac{1}{3}}{x-\frac{4}{3}} \)

16 a) \( \frac{x}{x-4}+\frac{2(x-6)}{x-4}=3 \)

16 c) \( \frac{x}{3(x-4)}+\frac{x-6}{x-4}=1.5 \)

Comments

Tipp zu 15 a)

$$ \frac{4}{2-x} = \frac{4}{-(-2+x)}=-\frac{4}{x-2} $$

Dann musst Du nur noch beide Seiten mit (x-2) multiplizieren, dann ist der Bruch weg. Vergiss nur nicht, dass Du die restlichen Terme auch damit multiplizieren musst. Den Rest solltest Du dann schaffen.

$$ \begin{aligned} 1 + \frac{4}{2-x} &=& x \cdot \frac{x-4}{x-2}+3-x \\1 - \frac{4}{x-2} &=& x \cdot \frac{x-4}{x-2}+3-x \qquad \vert \cdot (x-2) \\(x-2)\cdot (1 - \frac{4}{x-2}) &=& (x \cdot \frac{x-4}{x-2}+3-x)\cdot(x-2) \\x-2-4 &=& x \cdot (x-4)+(3-x)\cdot(x-2) \\&.&\\&.&\\&.&\\\end{aligned} $$

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Tipp zu 15 b)

erst die beiden Seiten jeweils zusammenfassen und dann mit dem neuen Nenner der Seiten multiplizeren und ausrechnen und zusammenfassen usw. Auf der rechten Seite kommt für die Nenner die 3. Binomische Formel zum Einsatz.

$$\frac{8}{x-6}-\frac{5}{x-7}=\frac{8\cdot (x-7)}{(x-6)\cdot(x-7)}-\frac{5\cdot(x-6)}{(x-7)\cdot(x-6)} \\= \frac{8x-56-5x+30}{(x-6)\cdot(x-7)} = ...$$

Answer 1

x/(x-4) + 2(x-6)/(x-4) = 3        

D = R\ {4}

x/(x-4) + 2(x-6)/(x-4) = 3        | *(x-4)

x + 2(x-6) = 3(x-4)

x + 2x - 12 = 3x - 12

3x = 3x

Allgemeingültig. Alle Elemente des Definitionsbereichs sind auch Lösungen der Gleichung.

Daher Lösungsmenge

L = D =  R \ {4}