die Lösung steht quasi da.
$$\arcsin x \leq \frac{\pi}{2} + 2x \sqrt{1-x^2} \\\Leftrightarrow \\\arcsin x - 2x \sqrt{1-x^2} \leq \frac{\pi}{2} \\$$
Wenn Du jetzt die Extremstellen der Funktion
$$ f(x)=\arcsin x - 2x \sqrt{1-x^2} \qquad x \in [-1;1]$$
und auch die Randextrema auf dem gegeben Intervall berechnest, stimmt obige Ungleichung falls kein Hochpunkt größer als Pi/2 ist.
Gruß
