Wie kann ich diese Ungleichung lösen?

Question

Ich habe Schwierigkeiten dabei diese Ungleichung zu lösen?

Aufgabe:

Gesucht sind alle reellen Zahlen \( x, \) die die Ungleichung

$$ \frac{x+2}{x-2}>x-4 $$

erfüllen.

Comments

Du kannst dir Fallunterscheidungen ersparen, wenn du die Ungleichung nicht mit x-2, sondern (x-2)² multiplizierst.

---

Du kannst dir Fallunterscheidungen ersparen, wenn du die Ungleichung nicht mit x-2, sondern (x-2)2 multiplizierst.

Eine (Un-)gleichung dritten Grades lässt sich ja auch viel "schöner" lösen...

;-)

---

Allerdings! An (x-1)(x-2)(x-6)<0 lässt sich die Lösungsmenge unmittelbar ablesen.

---

Spacko hatte schon weiter gedacht

Man erhält

(x+2)*(x-2)>(x-4)*(x-2)^2 | -(x+2)(x-2)

0>[(x-4)*(x-2)-(x+2)](x-2)

0>(x-1)(x-6)(x-2)

was sich nun mit einer Vorzeichentabelle lösen lässt.

---

Ja, das ist clever.

Answer 1

Hallo,

Um den Bruch weg zu bekommen, ist sicher das Bedürfnis da, mit \((x-2)\) zu multiplizieren ;-). Dabei muss man unterscheiden, ob dieser Term positiv oder negativ ist. Der Fall \(x-2=0\) entfällt, da der Term im Nenner steht.

Mal angenommen er ist positiv, d.h. \(x-2 \gt 0 \implies x \gt 2\) $$\begin{aligned} \frac{x+2}{x-2} &\gt x -4 && |\, x \gt 2\\ x+ 2 &\gt x^2 - 6x + 8 \\ 0 &\gt x^2 - 7x + 6 \\ 0 &\gt (x-6)(x-1) \\ & \implies 1 \lt x \lt 6 \\  & \begin{aligned}\implies \mathbb L_1 &= \{x |\, (1 \lt x \lt 6) \land (x \gt 2)\} \\&= \{x|\, 2 \lt x \lt 6\}\end{aligned}\end{aligned}$$Dann betrachten wir den Fall, wenn \(x-2 \lt 0\) ist - also \(x \lt 2\). Hier 'dreht' sich der \(\gt\)-Operator$$\begin{aligned} \frac{x+2}{x-2} &\gt x -4 && |\, x \lt 2\\ x+ 2 &\lt x^2 - 6x + 8 \\ 0 &\lt x^2 - 7x + 6 \\ 0 &\lt (x-6)(x-1) \\ & \implies (1 \lt x) \lor ( x \gt 6) \\ & \begin{aligned}\implies \mathbb L_2 &= \{x|\, ((1 \lt x) \lor ( x \gt 6)) \land (x \lt 2)\} \\ &= \{x|\, x \lt 1\}\end{aligned} \end{aligned}$$Fasst man die beiden Lösungsmengen zusammen, so erhält man $$\mathbb L = \{x| \, (x \lt 1) \lor ( 2 \lt x \lt 6)\}$$ein Blick auf die Graphen der Terme der linken und rechten Seite der Ungleichung zeigt, dass das Ergebnis Sinn macht.

~plot~ (x+2)/(x-2);x-4;x=2;((x+2)/(x-2))>(x-4);[[-5|8|-4|5]] ~plot~

Gruß Werner

Comments

Durch deine Antwort habe ich es so weit gebracht, ist dies korrekt?

Für x >2 (größer gleich)
$$ \begin{array}{rl} n g: \frac{x+2}{x-2}>x-4 & 1-x+4 \\ \Leftrightarrow \frac{x+2}{x-2}-x+4>0 & \Leftrightarrow \frac{x+2}{x-2}-\frac{x(x-2)}{1(x-2)}+\frac{4(x-2)}{1(x-2)} \\ & \Leftrightarrow \frac{x+2}{x-2}-\frac{x^{2}+2 x}{x-2}+\frac{4 x-8}{x-2} \\ & \Leftrightarrow \frac{x+2-x^{2}+2 x+4 x-8}{x-2}>0 \end{array} $$
\( \Leftrightarrow \frac{7 x-x^{2}-6}{x-2}>0 \)
$$ \Leftrightarrow \frac{-(x-6)(x-1)}{x-2}>0 $$

---

Ja - das ist korrekt!

---

Meine Frage ist jetzt wie ich aus meiner letzten Zeile auf die Lösungsmenge komme?

---

Ein Bruch ist größer als 0, wenn

- entweder Zähler UND Nenner positiv sind

- oder Zähler UND Nenner negativ sind.

Answer 2

Verwende den Rechenbefehl "mal (x-2)" und mache bei seiner Anwendung die Fallunterscheidung

x>2 (Relationszeichen bleibt wie es ist)

und

x<2 (Relationszeichen muss umgedreht werden).

Es entsteht in beiden Fällen eine quadratische Ungleichung.

Answer 3

( x + 2 ) / ( x -2 ) > x - 4

Fallunterscheidungen
a.) x - 2 > 0
x > 2
Es gilt
x + 2 > ( x - 4 ) * ( x - 2 )
x + 2 > x^2 -4x - 2x + 8
 2  - 8 > x^2 -6x - x

x^2 - 7x < -6
x^2 - 7x + (7/2)^2 - ( 7/2)^2 < - 6
( x - 7/2) ) ^2 < - 6 + 49/4
( x - 7/2) ) ^2 < 25/4
- √  (25/4 ) < x - 7/2 < √  (25/4 )
- 5/2 < x - 7/2 < 5/2
1 < x < 6
Zusammen mit der Eingangsvroaussetzung x > 2
2 < x < 6

Fallunterscheidungen
a.) x - 2 < 0
x < 2
Es gilt
Relationszeichen dreht sich um
x + 2 < ( x - 4 ) * ( x - 2 )
x + 2 < x^2 -4x - 2x + 8
2  - 8 < x^2 -6x - x

x^2 - 7x > -6
x^2 - 7x + (7/2)^2 - ( 7/2)^2 > - 6
( x - 7/2) ) ^2 > - 6 + 49/4
( x - 7/2) ) ^2 > 25/4
x - 7/2 > 5/2
x > 6
und
- ( x - 7/2 ) > 5/2
-x + 7/2 > 5/2
-x > -2/2 |
-x > -1
x < 1

Zusammmen mit der Eingangsvoraussetzung x < 2
( x > 6) und ( x < 2 ) keine Schnittmenge

( x < 1 ) und ( x < 2 )   =>  x < 1

Insgesamt
( 2 < x < 6 ) und ( x < 1)

Graphisch überprüft