Hallo,
Um den Bruch weg zu bekommen, ist sicher das Bedürfnis da, mit \((x-2)\) zu multiplizieren ;-). Dabei muss man unterscheiden, ob dieser Term positiv oder negativ ist. Der Fall \(x-2=0\) entfällt, da der Term im Nenner steht.
Mal angenommen er ist positiv, d.h. \(x-2 \gt 0 \implies x \gt 2\) $$\begin{aligned} \frac{x+2}{x-2} &\gt x -4 && |\, x \gt 2\\ x+ 2 &\gt x^2 - 6x + 8 \\ 0 &\gt x^2 - 7x + 6 \\ 0 &\gt (x-6)(x-1) \\ & \implies 1 \lt x \lt 6 \\ & \begin{aligned}\implies \mathbb L_1 &= \{x |\, (1 \lt x \lt 6) \land (x \gt 2)\} \\&= \{x|\, 2 \lt x \lt 6\}\end{aligned}\end{aligned}$$Dann betrachten wir den Fall, wenn \(x-2 \lt 0\) ist - also \(x \lt 2\). Hier 'dreht' sich der \(\gt\)-Operator$$\begin{aligned} \frac{x+2}{x-2} &\gt x -4 && |\, x \lt 2\\ x+ 2 &\lt x^2 - 6x + 8 \\ 0 &\lt x^2 - 7x + 6 \\ 0 &\lt (x-6)(x-1) \\ & \implies (1 \lt x) \lor ( x \gt 6) \\ & \begin{aligned}\implies \mathbb L_2 &= \{x|\, ((1 \lt x) \lor ( x \gt 6)) \land (x \lt 2)\} \\ &= \{x|\, x \lt 1\}\end{aligned} \end{aligned}$$Fasst man die beiden Lösungsmengen zusammen, so erhält man $$\mathbb L = \{x| \, (x \lt 1) \lor ( 2 \lt x \lt 6)\}$$ein Blick auf die Graphen der Terme der linken und rechten Seite der Ungleichung zeigt, dass das Ergebnis Sinn macht.
~plot~ (x+2)/(x-2);x-4;x=2;((x+2)/(x-2))>(x-4);[[-5|8|-4|5]] ~plot~
Gruß Werner
