Existiert Grenzwert?

Question

Aufgabe existiert der grenzwert von lim x->0 y->0 ((x^2+y^2)*e^{y*(-x^2)})/x^3? Wenn ja begründe.

Comments

Kleiner fehler  von mir lautet im exponenten von e nicht x2 sondern x^2 also e^y*(-x^2)

Answer 1

ich weiß, dass wir damals in der Uni eine Substitution benutzt haben

x = h * COS(α)
y = h * SIN(α)

lim (x, y --> 0) (x^2 + y^2)·e^{y·(- x^2)} / x^3

lim (h --> 0) EXP(- h^3·SIN(α)·COS(α)^2) / (h·COS(α)^3)

Hier hat man 1/0 und somit existiert kein Grenzwert.

Comments

also ich hab ja das gleiche wie du also das "lim (x, y --> 0) (x² + y²)·e^{y·(- x^2}) / x³" aber wieso existiert da kein grenzwert? wenn man x und y gegen 0 laufen können wir lhospital 3 x benutzen und es kommt 0/12 also für mich heißt das grenzwert 0

wie kommt ihr druaf das im nenner eine 1 steht? ok ich hab am anfang die aufgabe nicht richtig hingeschrieben aber das is ja die wo du gennant hast " lim (x, y --> 0) (x² + y²)·e^{y·(- x^2}) / x³"
ich hätte halt gesagt es hat ein grenzwert an 0

und so wen ich es mir ansehe is es ja wen ich direkt 0 einsetze (0+0)*1 also 0/0

Answer 2

oder du betrachtest für n gegen unendlich die Folge f( (1/n) ; 0 )

mit f(x;y)  =  ((x²+y²)*e^y*(-x2))/x³  das ist dann

f( (1/n) ; 0 ) =  (1/n)^2 * e^0 / (1/n)^3 = n

und für n gegen unendlich geht das gegen unendlich.

Also kein (endlicher) Grenzwert.

Wenn natürlich als Grenzwert auch ∞ gilt, dann müsste ja für jede Folge

von Punkten, die gegen (0;0) konvergieren immer die Folge der

Funktionswerte auch gegen unendlich gehen, dann wird es schwieriger.