Polynom berechnen zu passendem gegebenem Limes

Question

ich hab die Funktion f: (1, ∞) → ℝ mit f(x) = ln(x - 1) gegeben.Nun soll ich ein Polynom p vom Grad kleiner oder gleich 3 suchen, s.d.:
$$ \lim _{ x\quad\rightarrow\quad 2 }{ \frac { f(x)\quad -\quad p(x) }{ (x-2)^{ 3 } } \quad =\quad 0 } $$

Ich hab allerdings keine Idee, wie man dort vorgehen soll, ich :)

Comments

Möglicherweise hilft es, das dritte Taylorpolynom von \(f\) an der Entwicklungsstelle \(a=2\) zu bestimmen.

Answer 1

Mein Lösungsvorschlag

Im Nenner steht für x = 0 : null.
Nun ergibt ein Bruch der im Nenner 0 hat : unendlich.
Zähler / 0 ergibt unendlich. Herauskommen soll allerdings 2.

Ist der Bruch jedoch 0 / 0
kann L´Hospital angewendet werden.
Für den Zähler wird 0 als Wert angenommen.

Das Ganze muß allerdings 4 mal durchgeführt werden.
Es ergeben sich als Aussagen für p, p ´, p´´ , p´´´ die
rechteckigen Kästchen.

Angenommen wird
p ( x ) = a*x^3 + b * x^2 + c * x + d
Die Werte in den Funktionsterm und die Ableitungen eingesetzt ergibt

p ( x ) = 1/3 * x^3 - 5/2 * x^2  + 7 * x  - 20 / 3

Insgesamt ( ln ( x - 1 )  - ( 1/3 * x^3 - 5/2 * x^2  + 7 * x  - 20 / 3 ) )  / ( x -2)^3

~plot~ ( ln ( x - 1 )  - ( 1/3 * x^3 - 5/2 * x^2  + 7 * x  - 20 / 3 ) )  / ( x -2)^3 ~plot~

Comments

Noch eine kleine Korrektur zum handschriftlichen

p ( 2 ) = 0
p´( 2 ) = 1
p ´´ ( 2 ) = -1
p ´´´  ( 2 ) = 2

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Oh vielen vielen Dank für diese ausführliche Antwort! Hat mir sehr geholfen!! :)

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Erst mal riesen Dank für die ausführliche Antwort. 
Aber darf ich dennoch reinwerfen, dass wir l'Hopital immer noch nicht in der Vorlesung offiziell eingeführt haben. Also keine Definition oder ähnliches. Nur kurz angeschnitten bezüglich eines Beweises glaube ich. 
Da bezweifle ich stark, dass wir so eine Aufgabe in der Klausur mit l'Hopital lösen dürfen/können.

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Einen anderen Lösungsweg kenne ich nicht.

mfg Georg

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Alternativ siehe obigen Kommentar.

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Ahh, danke den obigen Kommentar habe ich wohl übersehen.

Damit könnte man es wahrscheinlich alternativ lösen.