Wie Zeige ich diesen Limes? limes von ln( x + 1)-x^2/(2(x+1)) für x---> unendlich?

Question

WIe zeige ich den limes von    ln( x + 1)-x^2/(2(x+1))  für x---> unendlich ?

Kann ich hier mithilfe von L Hospital abschätzen ?

Answer 1

Hi,

braucht man nicht unbedingt, würde ich sagen.

lim (ln( x + 1)-x²)/(2(x+1))  |x ausklammern und kürzen

= lim (ln(x+1)/x - x) / (2 + 2/x)

Nun anschauen von ln(x+1)/x für x -> ∞. Hier kann man in der Tat l'Hospital verwenden, oder wissen wie die Graphen anschauen.  Dieser Ausdruck geht gegen 0.

Dann haben wir nur noch

lim -x/(2+2/x) = -∞,

denn der Nenner geht ja gegen 2 und damit bleibt -x letztlich übrig.

Grüße

Comments

Du hast hiert die Klammer falsch gesetz.

ln( x + 1)           -              (  x²/(2(x+1) )

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Die Frage ist nur was von beidem der Fragesteller meinte:

$$\\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \left[ \ln { \left( x+1 \right)  } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 2\left( x+1 \right)  }  \right]  } =?\\ \lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \left[ \frac { { \ln { \left( x+1 \right) - } x }^{ 2 } }{ 2\left( x+1 \right)  }  \right]  } =?\\$$

Die gute Nachricht ist, beide Male kommt \(-\infty \) raus.

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Ah ok,

hatte Dir unterstellt, nicht sauber die Klammern gesetzt zu haben. Verzeih.

Vorgehen würde ich ähnlich.

--> (2x*ln(x+1) + 2ln(x+1) - x^2)/(2(x+1)) = (2*ln(x+1) + 2ln(x+1)/x - x) / (2+2/x)

Den zweiten Summanden im Nenner kann man bei der Limesbetrachtung vernachlässigen.

Der mittlere Summand kann ignoriert werden (siehe eigentliche Antwort). Es bleibt:

= 1/2* (2ln(x+1) - x) = 1/2*ln((x+1)^2) - ln(e^x)) = 1/2*ln((x+1)^2/e^x)

Dabei wurde im letzten Schritt die Logarithmenregeln verwendet.

e^x ist deutlich stärker als ln(x+1). Wir haben also im Limes betrachtet den Logarithmus mit dem Numerus gegen 0 gehend und damit der Ausdruck selbst gegen -∞.

Alles klar? :)

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Das x^2 gehört zum zähler des bruchs wie bei dem ersten limes vom kommentar von gast ie 1533 zu sehen ist

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So wurde es von mir behandelt. hättest Du meine Antwort genau durchgelesen, hättest Du gesehen, dass mein erster Schritt das "auf einen Nenner bringen" ist.

Answer 2

Man kann auch eine Abschätzung vornehmen

lim −> ∞ [ x^2 / ( 2*x - 2 ) ]

Die 2 im Zähler entfällt, dann wird geteilt
lim −> ∞ [ 1/2 * x ]
1/2 * x = ln ( e^{1/2*x} )

ln ( x + 1 ) -  ln ( e^{1/2*x} )
ln (  ( x + 1 ) /   ( e^{1/2*x} )  )

lim x −> ∞ [ ln (  ( x + 1 ) /   ( e^{1/2*x} )  ) ]

Jetzt hilft die Erfahrung : die e-Funktion im Nenner  wird größer als der Zähler

lim x −> ∞ [ ln (  ( x + 1 ) /   ( e^{1/2*x} )  ) ] = ln ( 0(+) ) = -∞

Nachtrag : wer will kann auch L´Hospital anwenden
( x + 1 ) /   ( e^{1/2*x} )  = ∞ /∞
1 /  ( e^{1/2*x}  * 1/2 )  = 1 / ∞ = 0(+)

Comments

Die 2 im Nenner entfällt, nicht im Zähler. Zudem hast Du die Aufgabe falsch abgeschrieben, auch wenns letztlich keinen Unterschied macht.

Zudem kann ich das "auch eine Abschätzung ", was sich anhört wie eine Alternative, nicht nachvollziehen. Findest Du genauso bei mir.

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@unkown
Danke für den Fehlerhinweis.

Korrektur
lim −> ∞ [ x² / ( 2*x - 2 ) ] Die 2 im Zähler entfällt, dann wird geteilt
sondern
lim −> ∞ [ x² / ( 2*x - 2 ) ] Die 2 im Nenner entfällt, dann wird geteilt

Desweiteren
Man kann auch eine Abschätzung vornehmen
lim −> ∞ [ x² / ( 2*x - 2 ) ]

besser formuliert
Man kann im 1.Schritt auch eine Abschätzung für den 2.Term vornehmen
lim −> ∞ [ x² / ( 2*x - 2 ) ]