Erläutern Sie, warum die Abhängigkeit durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden kann [...] !

Question

Eine Bakterienart vermehrt sich so, dass sich alle 3 Stunden die von ihr bedeckte Fläche verdoppelt. Zu Beginn der Beobachtung sind 12 cm² bedeckt. Erläutern Sie, warum die Abhängigkeit durch eine Exponentialfunktion f(x) = a * b^x beschrieben werden kann, wobei x die Zeit seit Beobachtungsbeginn in Stunden angibt! Ermittle a und b!

Answer 1

in einem gewissen Rahmen der Umeltbedingungen kann man davon ausgehen, dass die Population in der gleichen Zeiteinheit t immer um den gleichen Prozentsatz p% der vorhandenen Menge zunimmt.

Also gilt mit der Anfangsmenge a   f(x) = a • (1+p%)^x  = a • b^x

f(0) = 12 = a [in cm²]

f(3) = 36 →  36 = 12 b³ →  b = ³√3 ≈ 1,44225

→  f(x) = 12  • 1,44225^x  [in cm²]

Gruß Wolfgang

Comments

Kann ich nachvollziehen, allerdings scheint mir das ziemlich komplex...

Denke nicht, dass die Lehrerin solche Anforderungen hat.

Siehst du da möglicherweise auch einen anderen Rechenweg + Lösung. Denke, man müsse schon bei a = 12 etwas ändern. Aufgabe ist im Zuge der Exponentialfunktionen.

Ansonsten schonmal vielen Dank!

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bei f(x) = a • b^x  ist der Anfangswert f(0)  laut Text =12  und   f(0) = a • b⁰ = a, weil b⁰ = 1 ist.

Denke, man müsse schon bei a = 12 etwas ändern. Aufgabe ist im Zuge der Exponentialfunktionen.

geht also nicht

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Achso, stimmt, macht Sinn, danke!

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Hallo Wolfgang,

Fehlerhinweis

dass sich alle 3 Stunden die von ihr bedeckte Fläche verdoppelt.

Nicht
f(3) = 36

sondern
f ( 3 ) = 12 * 2 = 24

mfg Georg

Answer 2

Eine Bakterienart vermehrt sich so, dass sich alle 3 Stunden die von ihr
bedeckte Fläche verdoppelt. Zu Beginn der Beobachtung sind 12 cm² bedeckt.
Erläutern Sie, warum die Abhängigkeit durch eine
Exponentialfunktion f(x) = a * b^x beschrieben werden kann,
wobei x die Zeit seit Beobachtungsbeginn in
Stunden angibt! Ermittle a und b!

Die Vermehrung erfolgt nach
12 cm^2 zu Anfang
3 Std : 12 * 2  ( Verdoppelung ) = 12 * 2^1
6 Std : Stand bei 3 Std * 2 = 12 * 2 * 2 = 12 * 2^2
9 Std : Stand bei 6 Std * 2 = 12 * 2 * 2 * 2 = 12 * 2^3

Die Hochzahl ist immer x/3

f ( x ) = 12 * 2^{x/3}

Die Vermehrung erfolgt exponentiell. Die Variable x steht im Exponenten.

Die Exponentialfunktion soll die allerdings die Form
f ( x ) = 12 * b^x haben

Also
b^x = 2^{x/3}  | ln
ln ( b^x ) = ln ( 2^{x/3} )
x * ln ( b ) = x /3 * ln ( 2 )  | : x
ln ( b ) = 1/3 * ln ( 2 ) 
ln ( b ) = 0.231  | e hoch
b = e^=.231
b = 1.26

f ( x ) = 12 * 1.26^x

Probe
f ( 3 ) = 12 * 1.26^3 = 24
f ( 6 ) =  12 * 1.26^6 = 48

stimmt alles.

Comments

Wolfgangs Berechnung ist natürlich deutlich kürzer

f(0) = 12 = a * b^0 = 12 * 1 = a
a = 12

f ( 3 ) = 24 = 12 * b^3
b^3 = 2
b = 2^{1/3}
b = 1.26

f ( x ) = 12 * 1.26^x