Berechnung pq Formel, herausfinden von a bei gegebener Anzahl Lösungen. x^2 +ax+4=0

Question

Für welche der werte von a besitzt die Gleichung xquadrat+ax+4=0 1) eine Lösung 2) zwei Lösungen 3) keine Lösung !

Answer 1

x² + ax + 4 = 0

pq-Formel:

x = -a/2 ± √((a/2)² - 4)

Diese Gleichung besitzt nun genau eine Lösung, wenn es egal ist, ob der Wurzelterm addiert oder subtrahiert wird. Dies ist nur der Fall, wenn der Term gleich 0 ist. Also:

√((a/2)² - 4) = 0   | ²
(a/2)² - 4 = 0   | + 4
(a/2)² = 4   | √
a/2 = 2   ∨   a/2 = -2   | * 2
a = 4   ∨   a = -4

Genau eine Lösung entsteht also bei a = 4 und bei a = -4.

Keine Lösung besitzt die Gleichung, wenn das, was unter der Wurzel steht, negativ ist.

(a/2)² - 4 < 0   | + 4
(a/2)² < 4   | ²
a/2 < 2   ∧   a/2 > -2   | * 2
a < 4   ∧   a > -4
-4 < a < 4

Für keine Lösung muss der Wert von a also zwischen -4 und 4 liegen.

Zwei Lösungen kommen in allen anderen Fällen zustande, also wenn a < -4 oder a > 4 ist. :)