Anzahl Nullstellen. Schnellster Weg?

Question

guten tag ihr mathefreunde,

liebe leute ich weiß einfach nicht ob meine lösung richtig ist oder nicht.
könntet ihr mir dabei helfen

die aufgabe ist es die extremstellen herauszufinden.

die ableitungen hab ich schon mal, sind die richtig?

die nullstellen der ableitung muss ich nun in die zweite ableitung einsetzen...

so aber meine frage: schnellster weg um nullstellen herauszufinden
                                  kontrollieren ob es nur eine oder mehrere nullstellen existieren

f(x)= 1/3x^3+2x^2+3x    
f´(x)= x^2+4x+3                     
g(x)= x^3-18x^2+108x-214       
g´(x)= 3x^2-36x+108

   h(x)= 1/3x^3+3x^2+11x+15
  h´(x)= x^2+6x+11

danke im voraus

Answer 1

 

f(x) = 1/3*x³ + 2*x² + 3x

f'(x) = x² + 4x +3

Richtig gerechnet!

g(x) = x³ - 18x² + 108x - 214

g'(x) = 3x² - 36x + 108

Auch richtig!

h'(x) auch richtig!

Nullstellen: 

Am besten die p-q-Formel verwenden: 

f'(x) = x² + 4x + 3 = 0

x₁ = -2 - √(4 - 3) = -3

x₂ = -2 + √(4 - 3) = -1

Du siehst: Hier gibt es zwei Nullstellen. Hätte unter dem Wurzelzeichen ein negativer Ausdruck gestanden, gäbe es keine Nullstelle. Hätte unter dem Wurzelzeichen 0 gestanden, so gäbe es eine doppelte Nullstelle, d.h. der Graph von f'(x) schneidet die x-Achse nicht, sondern berührt sie nur.

Diese Werte -3 und -1 musst Du jetzt noch in die 2. Ableitung von f(x) einsetzen; erhältst Du dann einen negativen Wert, handelt es sich um ein Maximum, bei einem positiven Wert um ein Minimum. 

f''(x) = 2x + 4

f''(-3) = -6 + 4 = -2 => Maximum an (-3|f(-3)) | das f(-3) musst Du auch noch berechnen, um das Maximum zu bestimmen. 

f''(x) -1 = -2 + 4 = 2 => Minimum an (2|f(2)) | auch hier das f(2) berechnen. 

 

Bei den Funktionen g(x) und h(x) verfährst Du genauso.

 

Besten Gruß 

Answer 2

Die Ableitungen stimmen

 

g(x)= x³-18x²+108x²-214         
g´(x)= 3x²-36x+108

 

die würde auch stimmen wenn108x² eigentlich 108x sein soll.

 

In dem Fall ist glaub ich der schnellste Weg die p/q Formel für quadratische Gleichungen.

Also direktes Ausrechnen der Nullstellen denke ich.

x²+4x+3=0    =>   x=-1 oder x=-3

3x²-36x+108 => x=6

x²+6x+11   => keine Lsgen

Comments

upsi tut mir leid.

ja die pq formel hab ich auch benutzt aber bei mir kommt nur eine lösung raus die 6 ist das korrekt oder gibt es mehrere lösungen?

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Eigentlich genügt der Term unter der Wurzel in der Formal, die sogenannte Diskriminante.

Ist die 0, hat die Ableitung nur eine Nullstelle.

Ist sie kleiner 0: keine

Ist die grösser 0: zwei.

Du interessierst dich nur für die Anzahl Nullstellen der Ableitung?

Habe übrigens das störende Quadrat aus der Frage entfernt.

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Ja stimmt, da brauchst du sie dann gar nicht ausrechnen.

Edit: Hab auch nur die 6

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zu dem was Lu angesprochen hat

x²+4x+3=0

also z.B hier:

x_1,2=-2+-√(4-3)

da ist der Ausdruck unter der Wurzel positiv also gibt es 2 Lösungen

Answer 3

Alle Ableitungen richtig außer:
g(x)= x³-18x²+108x²-214         
g´(x)= 3x²-36x+108

hier fehlt das X bei g' (x):

g´(x)= 3x²-36x+108X

 

Nullstelle f':

x²+4x+3  = 0      |pq Formel

Gleichung in die Form x² + px + q = 0 erledigt

X₁ = -1

X₂ = -3

 

Nullstelle g':

3x²-36x+108 = 0              | :3

 

x^2 -12x +36                   |pq Formel

X₁ = 6

 

 h´(x)= x²+6x+11               |pq Formel

Keine Lösung!!

Comments

g´(x)= 3x²-36x+216X

:)

lg

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nein die aufgabe ist g(x)= x^3-18x^2+108x-214

dann muss die ableitung doch g´(x)= 3x2-36x+108 sein? oder nicht?

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Ist es: g(x)= x³-18x²+108x-214

Ableitung: g'(x) = 3x^2 -18x +108