Exponential, Umkehrfunktion

Question

"Die Funktion g:(-1, ∞) → ℝ, definiert durch g(x) = x + ln(1+x), ist streng monoton wachsend. Sei f die inverse Funktion von g.

(a) Zeigen Sie, dass \( f ({e}^{x} -1 + x) = {e}^{x} - 1\) für x ∈ ℝ

(b) Berechnen Sie f'(e)

zu (a):

sei \(f(x) = {e}^{x+1} -1 \)

\( f ({e}^{x} - 1 + x) = {e}^{({e}^{x} -1 + x )+1} -1= {e}^{{e}^{x} -1 + x +1} -1= {e}^{{e}^{x} + x} -1 = {e}^{{e}^{x}} * {e}^{x} -1= \) ab hier weiß ich leider nicht mehr weiter. Ich denke da muss sich etwas mit dem \( {e}^{x} \) wegkürzen, aber keine Ahnung wie.

zu (b):

\( f'(x) = (e+1) {e}^{x+1} \)

\( f'(e) = (e+1) {e}^{e+1} = (e+1) (e+1) ln(e) = ln((e+1){e}^{e+1}) = ln{({e}^{e+1})}^{e+1} = (e+1) {(ln(e))}^{e+1} = e+1 \)

Könnte da bitte jemand drüber gucken und sagen, ob das so geht oder wie es richtig wäre ?

Answer 1

Deine Umkehrfunktion ist leider falsch.
Es wird dir und mir nicht gelingen die Umkehrfunktion zu bilden.

Ich hatte eine ähnliche Aufgabe schon einmal.

Die Skizze zeigt dir die Zusammenhänge

unten steht in blau ein Wert : e^x - 1 + x
Für diesen Wert kann auf der roten f-Kurve ein
Funktionswert ermittelt werden : e^x - 1
Mit diesem Wert gehst du zurück auf die
x-Achse und dann in die blaue g-Kurve
und liest den dazugehörigen Funktionswert ab.
Da es sich bei g um die Umkehrfunktion von f handelt
gilt
g ( e^-1 ) = e^x - 1 + x

Es geht vielleicht auch kürzer

Für Umkehrfunktionen gilt :
g ( f ( x ) ) = x
g ( f ( e^x -1 + x ) ) = e^x - 1 + x
Es soll geprüft werden ob
f ( e^x - 1 + x ) = e^x -1
ist. Also
g ( e^x - 1 ) =? e^x - 1 + x
Handschriftlich wurd dies oben durchgeführt.

Aufgabe b.) muß ich noch formulieren.

Comments

Scheint noch komplizierter zu sein



Alle Angaben ohne Gewähr.

Kennt jemand etwas Kürzeres ?