Koordinatenabbildung

Question

verzweifle an der folgenden Aufgabe, da diese die erste dieser Art für mich ist:

Bestimme eine Basis Q von ℙ₂ und gebe anschließend die Kooardinatenabbildung K: ℙ₂   → ℝ₃  an:

gegeben ist: S: ℙ₂   → ℙ₂  mit S(x^0) = x^0 + 5x +4x^2 , S(x)= 2x , S(x^2) =  3x + 2x^2

Habe gedacht Basis Q ist (da l.u.): {x^0 + 5x +4x^2 , 2x , 3x + 2x^2 } ?!? Wäre auch die Einheitsbasis denkbar?

Wie komme ich jetzt auf die Koordinatengleichung und darstellende Matrix von K S K^-1?

Brauche Unterstützung.

Answer 1

Also ich verstehe das so:

in der Koordinatenabbildung stehen in den Spalten der Matrix die Koordinaten, die du zur Darstellung jedes Basisvektors brauchst.

K wäre dann die Einheitsmatrix .
Allerdings wäre es dann etwas heftig die Bilder der Basisvektoren zu bestimmen, da du ja nur die
Bilder von 1   x  und  x^2 hast.   Ginge aber auch, dann wäre z.B. für den ersten Basisvektor

S( x⁰ + 5x +4x² )  = 1*S(x^0 ) + 5 *S(x) + 4 * S(x^2 ) = ........  F(x)
aber dann müsstest du dieses Bild wieder mit DEINEN Basisvektoren darstellen, etwa über den Ansatz
F(x) = a*( x⁰ + 5x +4x² ) + b*(2x) + c*(   3x + 2x²)
und a,b, c würden dann die 1. Spalte der Matrix S bilden.

Deutlich einfacher ist es mit der Basis  1 ; x  , x^2
da hast du die Bilder der Basisvektoren schon gegeben und kannst daran
die Darstellung ablesen, also S =
1   0    0
5   2    3
4   0    2

und wenn du jetzt das Polynom a +bx + cx^2 hast, hat das ja die KOO a,b,c
also ist K die Einheitsmatrix 
K * S * K^-1 =  S

Comments

Ok. Danke. Werde es mir nachher zuhause noch mal anschauen und schauen, ob ich jetzt so weiter komme.