Verständnisfrage zu Funktion

Question

Wieso verschwindet bei 2^x+h das^x

(2^x+h-2^x) / (h) wird zu (2^h-1) / (h) * 2^x

Answer 1

=(2^{x} *2 ^{h} - 2^x)/h

2^x ausgeklammert.

=(2^x(2^h-1))/h

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Eine Frage habe ich noch dazu:

Wie kommt man von

[ lim_h->0 (2^h-1) / (h) ] * 2^x auf 0,693 * 2^x

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Wenn Du 0 einsetzt, hast Du einen Ausdruck 0/0 und kannst die Regel von L'Hospital anwenden

(also Zähler und Nenner getrennt ableiten)

--------->= 2^h *ln(2))/1 = 0.693

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Wenn man die Ableitungsregel für die Exponentialfunktionen gerade mit dem Differenzenquotienten herleitet, kann man das Ergebnis, das man noch nicht kennt, schlecht mit L'Hospital verwenden, oder?

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Jaa das sehe ich auch so.
Aber das kann man halt dann mit Testeinsetzungen zeigen (denke ich mal) .

Answer 2

2^{x+h} - 2^x
2^x * 2^h - 2^x  | 2^x ausklammern
2^x * ( 2^h - 1 )

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Eine Frage habe ich noch dazu:

Wie kommt man von

[ lim_h->0 (2^h-1) / (h) ] * 2^x auf 0,693 * 2^x

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lim h −> 0  [ ( 2^h - 1 ) / h ] = 0 / 0

L´Hospital

[ ( 2^h - 1 ) ] ´ / h ´ = 2^h * ln(2) / 1

lim h −> 0 [ 2^h * ln(2) / 1 ] = 2^0 * ln(2 ) = 1 * ln (2 ) = ln (2)