f und f'' beschränkt --> f' beschränkt

Question

sei f eine Funktion von ℝ nach ℝ.

f ist 2x differenzierbar und sowohl f als auch f'' sind beschränkt.

Nun soll ich mit dem Satz von Taylor zeigen, dass f' ebenfalls beschränkt ist.

Wie mache ich das?

Nach Taylor gilt ja: f(x0) = f(x0) + f'(xo) / 2 * (x - x0) + f''(ξ) / 6 * (x - x0)

Answer 1

Von Taylor hat man $$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)+O(h^3) \\ \Rightarrow f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{h}{2}f''(x)+O(h^2)$$

Da f und f'' beschränkt sind ∃ a,b>0 sodass |f(x)|≤a, |f''(x)|≤b, ∀x∈ℝ.

Also haben wir folgendes $$|f'(x)|=\left |\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{h}{2}f''(x)+O(h^2)\right | \\ \leq \frac{1}{h}\left |f(x+h)-f(x) \right |+\frac{h}{2}|f''(x)|+O(h^2) \\ \leq \frac{1}{h}\left( |f(x+h)|+|f(x)| \right)+\frac{h}{2}|f''(x)|+O(h^2)\\ \leq \frac{2a}{h}+\frac{h}{2}b+O(h^2)$$

Also ist f'(x) auch beschränkt .

Comments

Ist denn \(\dfrac1h\) beschränkt?