Parameter t so bestimmen, dass funktion genau eine Nullstelle hat

Question

Hallo:)

Wir haben die Funktion f(x)= 2x^2-4tx+1 und sollen den Parameter t so bestimmen, dass die Funktion genau eine Nullstelle hat. Wie geht das?

Answer 1

f(x)= 2x²-4tx+1 soll genau eine Nulsstelle haben:

2x² - 4tx + 1 = 0

⇔  x² - 2tx +1/2 = 0 

⇔ x² -2tx  + t²  = t² - 1/2 

⇔ (x - t)² = t² - 1/2 

Genau eine Nustelle für t = ±√(1/2)

Gruß Wolfgang

Answer 2

x^2 -2tx +1/2=0

x_1,2=  t ±√( t^2 -1/2)

---------> eine Nullstelle

t^2 -1/2 =0

t^2 =1/2

t=± 1/√2

Answer 3

einfach eine beliebige Nullstellenberechnung ausführen und dann schauen, für welche t es genau eine Nullstelle gibt.

Eine weitere Möglichkeit ist auch zu schauen, wie t aussehen muss, damit die Funktion wie folgt geschrieben werden kann:

$$ f(x)=a(x+d)^2 $$

Dann hat f(x) nämlich genau eine (doppelte) Nullstelle bei x=-d.

zur Kontrolle.

$$ t= \frac{\sqrt{2}}{2} $$

~plot~2x^2+4*sqrt(2)/ 2* x +1;[[-3|3|-1|4]]~plot~

Gruß

Answer 4

Wir haben die Funktion \(f(x)= 2x^2-4tx+1\) und sollen den Parameter t so bestimmen, dass die Funktion genau eine Nullstelle hat.

Genau eine Nullstelle hat die Funktion, wenn der Extremwert (hier Minimum) auf der x-Achse liegt.

\(f'(x)=4x-4t\)

\(4x-4t=0\)

\(x=t\)      \(f(t)= 2t^2-4t^2+1=1-2t^2\)

\(1-2t^2=0\)

\(t^2=\frac{1}{2}\)

\(t_1=\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

\(t_2=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

1.) \(f(x)= 2x^2-2\sqrt{2}x+1\)

2.)  \(p(x)= 2x^2+2\sqrt{2}x+1\)