Parameter p,q so bestimmen das ein LGS unendlich viele, genau eine und keine Lösung hat

Question

Aufgabe:

$$ \text {Bestimmen Sie die Parameter } p, q \in \mathbb{R} \text { im lin. Gleichungssystem } \left( \begin{array}{cc}{12} & {p} \\ {8} & {7}\end{array}\right) x=\left( \begin{array}{c}{15} \\ {q}\end{array}\right) $$

so, dass es a) eindeutig lösbar ist,

b) keine Lösung besitzt bzw.

c) unendlich viele Lösungen besitzt!

Geben Sie gegebenenfalls die Lösung bzw. die Lösungsmenge an!

Problem/Ansatz:

also für c) hätte ich p=3 und q=15

wie mache ich das für die anderen?

LG

Answer 1

Du kannst doch umformen :

1. Zeile + (-1,5)* 2. Zeile gibt

         (-10,5 + p) x2 = 15  
8x1     +     7x2       =    q.

Die erste Gleichung hat für p=10,5 KEINE Lösung,

also auch das Gl.system nicht, egal was q ist.

Für p≠10,5 hat die erste Gleichung die Lösung

                               x2 = 15 /   (-10,5 + p)

in die 2. eingesetzt gibt das

8x1   +   105 /  (-10,5 + p)   = q

und das gibt immer für x1 auch genau eine Lösung.

Fazit:    Keine Lösung für p=10,5

ansonsten immer genau eine Lösung.