Beweisen oder widerlegen | Matrix | Eigenwerte

Question

ich habe zwei Behauptungen und soll diese entweder beweisen oder widerlegen.

Sei A ∈ M_n(ℝ) :

1. Seien P, D ∈ M_n(ℝ), wobei D eine Diagonalmatrix ist und AP=PD. Dann ist jeder Spaltenvektor v ≠0 von P ein Eigenvektor von A.

2. Falls A² = A und A ≠0, dann hat A nur die Eigenwerte 0 und 1.

Vielen Dank !

Answer 1

Die 2. stimmt jedenfalls; denn sei k ein Eigenwert von A, dann gibt es einen Vektor v≠0 mit

A*v = k*v     #  und damit   

A^2 *v   = (A * A) * v = A*(A*v)  (Rechenregeln für Zahlen und Matrizen)

              = A*(k*v) wegen #

              =  k * ( A *v)  (Rechenregeln für Zahlen und Matrizen)

             = k * ( k*v)   wieder  #

            = k^2 * v   also ist k^2 ein Eigenwert von A^2 .

wenn allerdings A und A^2 gleich sind, müssen sie auch die gleichen Eigenwerte

haben, also   k^2 = k    ⇔  k^2 - k = 0     ⇔  k(k-1) = 0    ⇔  k = 0  oder k=1

Comments

Das 1. stimmt wohl auch; denn wenn man P mit einer Diagonalmatrix
multipliziert, da steht in der i-ten Zeile des Ergebnisses das Produkt
aus der i-ten Spalte von P mit dem Diagonalelement d_i,i von D
(Denn was man da noch dazu addieren müsste, ist ja alles 0, weil
die Diagonalmatrix in der i-ten Spalte sonst nur Nullen hat.)

also ergibt sich als Ergebnis die i-te Spalte von P multipliziert mit d_i,i .
Und wenn diese Spalte nicht 0 war, ist sie also ein
Eigenvektor zum Eigenwert d_i,i .