Beweisen oder widerlegen Sie: Jede lineare Abbildung wird bei geeigneter Basiswahl...

Question

Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Jede lineare Abbildung wird bei geeigneter Basiswahl durch die Einheitsmatrix repräsentiert.

b) Es gibt einen Isomorphismus ℚ¹⁰ → Hom_ℚ (ℚ¹⁰, ℚ) von ℚ-Vektorräumen.

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand unter die Arme greifen könnte.

Bei a) tendiere ich zu "wahr", weiß aber nicht, wie ich das am besten zeige.

Bei b) habe ich leider keinen Ansatz.

VG Ignis_Infernalis

Answer 1

zu a)  falsch!  Die Abbildung, die alles auf die 0 abbildet, ist eine

lineare Abbildung und hat bezüglich jeder Basis die 0-Matrix als

Abbildungsmatrix.

b) Das ist wohl wahr, denn Hom_ℚ (ℚ¹⁰, ℚ) ist doch der

Raum der Linearformen von Q^(10)  . Und diese werden doch immer durch

Abbildungsvorschriften von der Art  v*x dargestellt, dabei ist v ein fester Vektor aus Q^(10) und x =(x1,x2,..., x10 )^T aus Q^(10).

Die Abbildung, die jeder Linearform das q zuordnet (oder umgekehrt)

ist doch sicherlich ein Isomorphismus

Comments

ah, die gute alte Nullabbildung. Guter Punkt.

Vielen lieben Dank für die sehr schnelle und ausführliche Antwort! (also mir hat das auch geholfen lol)