ist F(tv) = tF(v) lineare Abbildung: beweisen/widerlegen

Question

Aufgabe:

Seien V, W reelle Vektorräume.
1. Sei F : V → W eine Abbildung von V nach W mit F(tv) = tF(v) für alle v ∈ V, t ∈ R.
Ist F eine lineare Abbildung? Beweisen Sie die Aussage oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.

2. Sei F : V → W eine affine Abbildung. Zeigen Sie, dass F(tu + (1 − t)v) = tF u) + (1 − t)F (v)

Problem/Ansatz:

muss ich bei 1. für die Abbilldung die Additivität und Homogenität beweisen?

und was muss ich bei der 2. machen? ebenfalls beweisen, dass sie eine lineare Abbildung ist?

Answer 1

muss ich bei 1. für die Abbilldung die Additivität und Homogenität beweisen?

homogen ist ja gegeben. Also entweder beweisen, dass daraus

additiv folgt oder ein Gegenbeispiel finden

und was muss ich bei der 2. machen? ebenfalls beweisen, dass sie eine lineare Abbildung ist?

Nein! affine Abbildung ist vorausgesetzt. Also nachschauen wie

das definiert ist und dann zeigen, dass daraus folgt:

F(tu + (1 − t)v) = tF u) + (1 − t)F (v) für alle u,v aus V und t aus ℝ.

Comments

Könnten sie mir sagen, ob zur 1. ein Gegenbeispiel gibt?

Definition Sei V ein K-Vektorraum. Dann heißt F : V → V affin-lineare Abbildung von V
auch affine Abbildung, falls es eine lineare Abbildung f : V → V und ein t ∈ V gibt mit
F (x) = f (x) + t.

Muss ich bei der 2. mit dieser Definition arbeiten?

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Bei 1. glaube ich ja, habe aber gerade keine Idee.

Bei 2. auch ja. Mit dieser Def. müsst die gegebene

Gleichung gezeigt werden . Allerdings würde ich statt t

eine andere Variable wählen. Etwa F(x)=f(x)+s.

Und damit beide Seiten der gegebenen Gleichung ausrechnen,

es entsteht in beiden Fällen das Gleiche:

tf(u) + (1-t)f(v)+s, also gilt die Gleichheit.

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Bei 1. glaube ich ja
Selbstverständlich, sonst wäre die Forderung nach Additivität ja überflüssig.

habe aber gerade keine Idee.
Bilde im R^2 Ursprungsgeraden auf geeignet gedrehte Ursprungsgeraden ab.

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bei der 2. ist ja F(tu + (1 − t)v) = F(tu + (1-t)v) + s nach der Definition eingesetzt. Wie kann ich dann die rechte Seite hier umformen, sodass nach dem Gleichheitszeichen

tF (u) + (1 − t)F (v)

steht?

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F(tu + (1 − t)v) = f(tu + (1 − t)v) + s

Dann Linearität von f anwenden gibt nachher tf(u) + (1-t)f(v)+s.

Bei tF( u) + (1 − t)F (v) genauso.