Lineare Abbildung: Beweisen oder Widerlegen

Question

Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie, dass es sich um eine lineare Abbildung handelt.

f : Z²₂ -> Z²₂ , f (\( \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \)) = \( \begin{pmatrix} y \\ x^2\end{pmatrix} \)

 
Problem/Ansatz:

Ich weiß was ich allgemein zeigen muss nämlich,

f (\( \begin{pmatrix} x1 \\ y1 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} x2 \\ y2 \end{pmatrix} \)) = f \( \begin{pmatrix} x1 \\ y1 \end{pmatrix} \) + f \( \begin{pmatrix} x2 \\ y2 \end{pmatrix} \)

und

f ( λ * \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)) = λ * ( f \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \))

Das muss aber im Z₂ gezeigt werden, somit habe ich nur {0,1} zur Verfügung und da weiß ich nicht, wie man dies allgemein zeigen soll und ob sich der Z₂ nur auf x und y bezieht, oder auch auf λ.

Answer 1

Im \(\mathbb{Z}_2\) ist \(x=x^2\). Darum ist auch$$f\left( \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\right) =  \begin{pmatrix} y\\ x^2 \end{pmatrix}=  \begin{pmatrix} y\\ x \end{pmatrix} \quad x,\,y \, \in \mathbb{Z}_2$$man könnte also auch schreiben$$f\left( \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$$und dies ist ohne Zweifel eine lineare Abbildung.