Teilbarkeitsregeln formal und zeichnerisch für 8 Ι a ⇔ 8 Ι z_2 z_1 z_0

Question

Wie kann man Teilbarkeitsregeln zeichnerisch bestimmen? An so einem Beispiel:

a=z_n...z₁,z₀ mit z∈⟨0, ... , 9⟩ für i=0, ... ,n von a∈ℕ 

8Ιa⇔8Ιz₂z₁z₀

kann das jemand in eigenen worten erklären?

Answer 1

Mit 81 macht die Fragestellung keinen Sinn.

Deshalb Annahme: 8Ιa⇔8Ιz₂z₁z₀  ist zu lesen als

"8 teilt a genau dann, wenn 8 das Produkt von 3 Teilern von a teilt."

Das stimmt, weil 8 = 2^3 nur 3 von 1 verschiedene Teiler hat: 2,4,8.

Dazu braucht es allerdings eine Faktorzerlegung von a, d.h. der Anfang der Fragestellung müsste

a=z_n...z_1*z₀ mit z∈⟨0, ... , 9⟩  sein.

 

Warum lässt ihr hier Nullen und Einsen zu? Soll das eine Zahl sein, die auf n+1 Ziffern besteht.

Dann besagt die Aussage

"8 teilt a genau dann, wenn 8 die letzten 3 Ziffern von a teilt."

1000 ist durch 8 teilbar.

1008, 1016… auch

5000, 6000, 144'000, 144'888 auch…

Man muss nur die letzten 3 Ziffern ansehen, wenn man wissen will, ob eine Zahl durch 8 teilbar ist.

Comments

Eventuell "8 teilt a genau dann, wenn 8 die letzten 3 Ziffern von a teilt."

Das hast du ja auch so sehr gut beschrieben. 

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Die Ziffer Eins ( 1 ) wird in vielen Schriftarten mit einer "Nase" dargestellt, so dass sie eigentlich gut von anderen ausstattungsarmen Zeichen ähnlicher Bauart unterschieden werden kann.

Der Großbuchstabe ( I ) und der Kleinbuchstabe ( l ) sind in serifenlosen Schriftarten oft nicht zu unterscheiden, weswegen Wörter wie "Ill" gelegentlich irgendwie seltsam aussehen. Man sollte diese Buchstaben nicht ohne guten Grund als Ersatz für Ziffern oder Operatoren und auch nicht als Indizes verwenden.

Das bereits im ASCII-Zeichensatz enthaltene Symbol ( | ) ist in vielen Schriftarten als senkrechter Strich realisiert, der die Grundlinie unterschreitet (vgl. "q|p"). Im deutschen Tastatur-Layout ist es links unterhalb der A-Taste angeordnet und über die AltGr-Taste zu erreichen. Es eignet sich gut als Symbol für die Teilbarkeitsrelation. (Es gibt auch ein eigenes Unicode-Zeichen "Divides" für den teilt-Strich.)

Statt also wie in "8Ιa⇔8Ιz₂z₁z₀" den Großbuchstaben I zu missbrauchen, versuche ich es mal mit dem erwähnten senkrechten Strich, füge ein paar Leerzeichen ein und schreibe die Ziffernsymbole mit einem großen Z. Dies ergibt die lesbarere Darstellung

(...)
8 | a ⇔ 8 | Z₂Z₁Z₀

Übersetzt bedeutet dies: Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist, oder aber die letzten 3 Ziffern der Zahl Nullen sind. (Wikipedia)

Den letzten Nebensatz halte ich dabei für entbehrlich.

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Die bisherigen Überlegungen treffen sicher nicht den Kern der Frage "Wie kann man Teilbarkeitsregeln zeichnerisch bestimmen?" Daher ist auch die Antwort keine Antwort, sondern eher ein Kommentar.

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@Mathecoach:  Hatte wohl geschlafen...

@Anonym: 0 ist durch 8 teilbar aber 8 nicht durch 0… Du darfst gern eine ausführlichere Antwort schreiben, wenn die Fragestellung deiner Meinung nach noch was hergibt.

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Ich finde das ist schon eine Antwort wert. Weil es eine wichtige Idee geliefert hat ohne die man gar nicht klar kommt.

Formal könnte man das eventuell wie folgt schreiben schreiben:

8 | zn...z3z2z1z0

⇔ 8 | 1000 * zn...z3 + z2z1z0

⇔ 8 | 1000 * zn...z3 und 8 | z2z1z0

⇔ 8 | 1000 und 8 | z2z1z0

⇔ 8 | z2z1z0

Zeichnerisch ist das meiner Meinung nach sehr aufwendig, weil man dazu ja die zahlen von 0 bis über 1000 notieren müsste. So denke ich mir das momentan zumindest. Man müsste zeichnerisch doch nur zweigen das 1000 ein vielfaches von 8 ist. also wir ab 1000 die gleiche Folge haben wie ab 0.

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@Anonym: 0 ist durch 8 teilbar aber 8 nicht durch 0…

Das letztere ist klar und wird auch nirgends behauptet.

...Du darfst gern eine ausführlichere Antwort schreiben, wenn die Fragestellung deiner Meinung nach noch was hergibt.

Danke, werde ich vielleicht auch in Erwägung ziehen, sobald ich eine Antwort weiß! :-) Aber ich würde dem Fragestelle mal unterstellen wollen, dass er die Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 8 wohl kennt und vielleicht sogar beweisen kann. Nun fragt er nach einer zeichnerischen (geometrischen?) Herleitung oder Begründung dieser Regel.