Parabel: Bei gegebener Bogenlänge Koordinate ermitteln

Question

wie berechnet man bei einer Parabel (z.B. y = a x²) den Punkt, an dem (vom Ursprung aus berechnet) eine Bogenlänge L erreicht wird?

(z.B.: man hat einen Faden der Länge 20 cm und möchte den von (0, 0) ausgehend als einen Parabel-Ast auflegen - wo ist (x, y) vom Ende?)

Ich habe zur Bogenlänge eine Formel gefunden ( http://www.schuelerkonferenz.edu.tum.de/fileadmin/w00brm/www/Facharbeiten_2009/dueren_philipp_cc.pdf - Seite 22 (18) ganz unten), die ich nun einfach nach x lösen lassen wollte, z.B. mit http://wolframalpha.com/ oder https://mathway.com/

Die stürzen dabei aber ab bzw. die "Berechnung" dauert zu lange. Einmal hat es mit Wolfram funktioniert, aber das Resultat war im Vergleich zu meiner naiven Berechnung mit einem Spreadsheet (Längen zwischen (x, y)-Punkten aufaddiert, bis L überschritten wird) um einige cm daneben.

Gibt es dazu eine "einfache" Formel?

edit: Hier ( https://www.mathelounge.de/115860/breit-eine-eine-150cm-holzplatte-parabel-5x%C2%B2-gedruckt-wird ) wird genau dieselbe Aufgabenstellung gefragt, aber die Antwort macht mich nicht sehr froh :-)

Danke

Answer 1

f ( x ) = a * x^2
f ´( x ) = 2 * a * x

Bogenlänge

l = ∫ √ ( 1 + [ f´( x ) ]^2 dx  zwischen 0 und x1

Mein Matheprogramm bekommt eine ellenlange Stammfunktion
heraus.

Hast du ein konkretes a ?

Dann könnte vielleicht ein Ergebnis gefunden werden.

Comments

Ich habe einmal für a = 1 berechnen lassen.
Das Matheprogramm findet auch kein konkretes Ergebnis.

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Ich akzeptiere, dass das offenbar weniger trivial ist als ich dachte.(OP)