Betrachten wir die beiden Nullstellen ( + x1 ) = 2 ( vorgegeben ) so wie ( + x2 ) ( gesucht ) . Wegen der Axialsymmetrie sind dann automatisch auch ( - x1 ) so wie ( - x2 ) Wurzeln deines Polynoms; mehr wie 4 kann es nicht geben.
F ( x ) = ( x + x1 ) ( x - x1 ) ( x + x2 ) ( x - x2 ) = ( 1a )
= ( x ² - x1 ² ) ( x ² - x2 ² ) ( 1b )
f ( x ) := k F ( x ) ( 1c )
Wer für eine Schulaufgabe mehr wie zwei Unbekannte investiert, lerbt verkehrt. Wir haben die zweite Nullstelle x2 so wie den ===> Leitkoeffizienten k, den ich eh nur als halbe Unbekannte empfinde. Wir führen noch die euch wohl bekannte z-Substitution durch
z := x ² ( 2a )
z1 := x1 ² = 4 ( 2b )
z2 := x2 ² ( 2c )
Dann wird aber ( 1b )
F ( z ) = ( z - 4 ) ( z - z2 ) ( 3a )
F ( P1 ) = F ( 0 ) = 4 z2 ( 3b )
F ( P2 ) = F ( z = 9 ) = 5 ( 9 - z2 ) ( 3c )
k eliminieren wir ganz einfach durch die Proportionalität
F ( P2 ) / F ( P1 ) = f ( P2 ) / f ( P1 ) = ( - 1/2 ) ( 4a )
( 5/4 ) ( 9 / z2 - 1 ) = ( - 1/2 ) ( 4b )
9 / z2 = 3/5 ===> z2 = 15 ( 4c )
Rein von Wolfs Figur her kann ( 4c ) stimmen. Aus ( 3b ) liest du übrigens unmittelbar ab k = 1/15 . Dass Wolfs Antwort richtig ist, erhellt im Übrigen aus dem Vieta von ( 3a )