Question

Gesucht ist Polynom 4. Grades, das achsensymmetrisch zur Y-Achse ist, eine Nullstelle bei x=2 hat und durch die Punkte P1(0/4) und P2(3/-2) läuft. 

Prüfen Sie durch Einsetzen!

Stellen Sie das Polynom in Produktform dar und bestimmen Sie die Nullstellen.

Answer 1

wegen Symmetrie:  f(x) = ax⁴ + bx² + c

f(0) = 4 →  c = 4,  also  f(x) = ax⁴ + bx² + 4

f(2) = 0  →    16·a + 4·b = -4

f(3) = -2 →     81·a + 9·b = -6

das  LGS  hat die Lösung  a = 1/15  und  b = - 19/15

f(x) = 1/15 x⁴ - 19/15 x³ + 4

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hilfe bei Steckbriefaufgaben bekommst du auf der Seite

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

f'(0)=0

f'''(0)=0

f(2)=0

f(0)=4

f(3)=-2

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d = 0

6b = 0

16a + 8b + 4c + 2d + e = 0

e = 4

81a + 27b + 9c + 3d + e = -2

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f(x) = 1/15·x^4 - 19/15·x^2 + 4 = 1/15·(x + 2)·(x - 2)·(x^2 - 15)

Comments

nicht so ganz nachvollziehbar

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Einfach Falsch!

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das Ergebnis von MC ist vollkommen richtig. (Auch die Faktorzerlegung ist richtig)

Die Bedingung f ''' ( 0) = 0 ist etwas ungewöhnlich, ergibt sich aber aus der Symmetrie.

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Für die Seite

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

muss man leider die Symmetriebedingungen auch als Bedingungen für die Koeffizienten schreiben. Natürlich kann man aber bei der eigenen Lösung auf Papier auch diese Koeffizienten die Null sind gleich weg lassen.

Dafür hilft die genannte Seite aber sehr zuverlässig ähnliche Aufgaben recht einfach zur eigenen Kontrolle zu lösen.

So eine Kontrolllösung soll aber nicht die eigenen Hausaufgaben ersetzen sondern soll unterstützend dienen für Leute die keine Ahnung haben.

Answer 3

  Betrachten wir die beiden Nullstellen ( + x1 ) = 2 ( vorgegeben ) so wie ( + x2 ) ( gesucht ) . Wegen der Axialsymmetrie sind dann automatisch auch ( - x1 ) so wie ( - x2 ) Wurzeln deines Polynoms; mehr wie 4 kann es nicht geben.




      F  (  x  )  =  (  x  +  x1  )  (  x  -  x1  )  (  x  +  x2  )  (  x  -  x2  )  =      (  1a  )

                    =  (  x  ²  -  x1  ²  )  (  x  ²  -  x2  ²  )        (  1b  )

      f  (  x  )  :=  k  F  (  x  )      (  1c  )




    Wer für eine Schulaufgabe mehr wie zwei Unbekannte investiert, lerbt verkehrt. Wir haben die zweite Nullstelle x2 so wie den ===> Leitkoeffizienten k, den ich eh nur als halbe Unbekannte empfinde. Wir führen noch die euch wohl bekannte z-Substitution durch





      z    :=  x  ²                    (  2a  )

      z1  :=  x1  ²  =  4          (  2b  )

      z2  :=  x2  ²                   (  2c  )


   
      Dann wird aber ( 1b )



   
      F  (  z  )  =  (  z  -  4  )  (  z  -  z2  )            (  3a  )

      F  (  P1  )  =  F  (  0  )  =  4  z2                 (  3b  )

      F  (  P2  )  =  F  (  z  =  9  )  =  5  (  9  -  z2  )     (  3c  )



     k eliminieren wir ganz einfach durch die Proportionalität



      F  (  P2  )  /  F  (  P1  )  =  f  (  P2  )  /  f  (  P1  )  =  (  -  1/2  )     (  4a  )

       (  5/4  )  (  9 / z2  -  1  )  =  (  -  1/2  )     (  4b  )

        9 / z2  =  3/5  ===>  z2  =  15    (  4c  )



   Rein von Wolfs Figur her kann ( 4c ) stimmen.  Aus ( 3b ) liest du übrigens unmittelbar ab k = 1/15  . Dass Wolfs Antwort richtig ist, erhellt im Übrigen aus dem Vieta von ( 3a )