Ableitung von Potenzen. Zeigen Sie, dass diese Regel auch für negative n gilt. f(x) = x^n , f'(x) = nx^{n−1} .

Question

Also wir haben gelernt, dass für  f : ℝ → ℝ, f(x) = x ⁿ , n ∈ ℕ gilt: f'(x) = nxⁿ⁻¹ . 

Nun miss ich zeigen, dass das auch für beliebige negative n, also n ∈ ℤ gilt (wobei der Definitionsbereich auf ℝ\{0} einzuschränken ist). 

Ich darf alles außer die Kettenregel benutzen,

Answer 1

Ja benutz die Quotientenregel.

Gruß 

Answer 2

Ich ziehe mal das negative Vorzeichen aus dem n heraus. n = - m

f(x) = x^{n}

f(x) = x^{- m} = 1/x^m

Also hier könnte man ja mal die Quotientenregel benutzen.

f'(x) = (0·x^m - 1·m·x^{m - 1}) / x^{2·m}

f'(x) = (- m·x^{m - 1}) / x^{2·m}

f'(x) = - m·x^{m - 1 - 2·m}

f'(x) = - m·x^{- m - 1}

f'(x) = n·x^{n - 1}

Comments

Ich verstehe vom 2. zum 3. Schritt die umformung leider nicht. (Also unter dem Satz Also hier könnte man ja mal die Quotientenregel benutzen"  wäre der 1. Schritt in meinen Augen)

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Dann kennst du die Quotientenregel nicht ? Wenn ja dann schreibe sie mal auf. Wenn nicht dann schlage sie nach und schreibe sie auf.

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Na f(x) = u/v, oder? 

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https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenregel