Induktion bei der Ungleichung 2^{n+1} ≥ n^2 + n + 2

Question

ich stehe grade etwas auf dem Schlauch, denke ich. Ich habe folgende Ungleichung gegeben:
2ⁿ⁺¹  ≥ n² + n + 2
Induktionsanfang und -bedingung sind klar.Nun stecke ich beim Induktionsschritt fest: Also n → n+1 :
2ⁿ⁺¹⁺¹ ≥ (n+1)² + n + 1 + 2 --> muss rauskommen 
2ⁿ⁺¹ * 2 ≥ (n² + n + 2) * 2
das kann ich jetzt natürlich noch ausrechnen, aber das bringt mich ja nicht weiter, ich bitte um Hilfe, danke! :)

Answer 1

2^{n + 1} ≥ n^2 + n + 2

IA:

2^{0 + 1} ≥ 0^2 + 0 + 2 --> 2 ≥ 2

2^{1 + 1} ≥ 1^2 + 1 + 2 --> 4 ≥ 4

2^{2 + 1} ≥ 2^2 + 2 + 2 --> 8 ≥ 8

IS:

2^ ((n + 1) + 1) ≥ (n + 1)^2 + (n + 1) + 2

2·2^{n + 1} ≥ n^2 + 2·n + 1 + n + 1 + 2

2·2^{n + 1} ≥ n^2 + 3·n + 4

2·(n^2 + n + 2) ≥ n^2 + 3·n + 4

2·n^2 + 2·n + 4 ≥ n^2 + 3·n + 4

n^2 - n ≥ 0

n·(n - 1) ≥ 0

Das ist für die natürlichen Zahlen erfüllt.

Comments

Frage dazu: in der drittletzten Zeile:

2n² + 2n + 4 ≥ n² + 3n + 4

Wäre der nächste Schritt dann nicht:

n² - n ≥ 0 ? Du machst doch 2n - 3n oder?

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Richtig.

Was folgt nun deiner Meinung nach bis zum Schluss?

Aber: https://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5E(n%2B1)++≥+n%5E2+%2B+n+%2B+2

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Richtig. Da war ein kleiner Rechenfehler drin. Ich habe den oben verbessert.