Die Inverse einer Funktion berechnen: h(x) = 3x - 3x^2 + x^3

Question

ich hab eine Funktion gegeben: h(x) = 3x - 3x² + x³  

Ich soll nun zeigen, dass die Funktion eine Inverse hat und sie berechnen. Hab aber irgendwie keine Idee und wäre um Hilfe sehr dankbar!

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Tipp: \(h(x)=(x-1)^3+1\).

Answer 1

Um zu zeigen dass die Funktion eine Inverse hat, muss man zeigen dss diese 1-1 ist. 
Um die Inverse dann zu finden, macht man folgendes: 
$$y=h(x) \Rightarrow y=3x-3x^2+x^3$$ 
Dann muss du diese Gleichung in der Form $$x=g(y)$$ schreiben und dann ist die g(y) die Inverse. 

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Dank dem Tipp:

y = (x - 1)³ + 1 

y - 1 = (x - 1)³ 

3.√(y - 1) = x - 1

x = 3.√(y - 1) +1

Und das ist dann meine Inverse oder? 

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Ja. Tausche nun noch x und y.

Damit du keine negativen Werte unter der Wurzel hast, 

schreibe eine stückweise definierte Funktion hin: 

h^{-1}(x) = ³√(x-1) + 1        , für x≥ 1

und

h^{-1}(x) = -^3√(1-x) + 1   , für x<1 

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h ( x ) = 3x - 3x² + x³  
D = ℝ
W = ℝ

i ( x ) = 3.√(x - 1) +1
D = x ≥ 1
W = x ≥ 1

Die Funktion i ( x ) ist nur für x ≥ 1 eine Umkehrfunktion zu f ( x )

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georgborn: Schöne Illustration des Problems! 

 Ergänze in deiner Graphik (wenn das möglich ist) noch den 2. Ast von h^{-1}:

h^-1(x) = -³√(1-x) + 1   , für x<1 

Vgl. meine Rechnung oben.

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Hier die geteilte Funktion