Schnittgerade zweier Ebene x-2y+2z=1 und 2x-y+z=2

Question

wie wird die Schnittgerade der Ebenen x-2y+2z=1 und 2x-y+z=2 berechnet? Wenn ich die Ebenen gleichsetze, bekomme ich z=y. Wie rechnet man weiter?

Grüße

Answer 1

Was heisst hier "Ebenen gleichsetzen"? Beide Ebenengleichungen zusammen ergeben ein LGS, das Du loesen sollst. Du bekommst nicht nur \(y=z\), sondern auch \(x=1\). Das war's dann auch schon, das ist die Beschreibung der Schnittgeraden.

Answer 2

 x-2y+2z=1

 2x-y+z=2 

Es genügt, wenn du 2 Punkte auf der Schnittgeraden berechnest. Du kannst hier z.B. Spurpunkte (in Wikipedia schauen, was das ist) nehmen. 

1. Punkt x = 0

-2y+2z=1  (I)

-y+z=2        (II)

-2y+2z=1  (I)

-2y+2z=4       (II)' = (II)*2

----------------------- (I) - (II)'

0 = -3

Es gibt keinen Punkt mit x=0 auf der Geraden. Die Gerade verläuft somit parallel und nicht in der yz-Ebene.  

(Pech gehabt, weiter 2 Punkte suchen) 

 

2. Punkt y = 0

x+2z=1        (I)

 2x+z=2          (II)

2x+4z=2        (I) '

 2x+z=2          (II)

--------------------- (I)' - (II) 

3z = 0         ==> z = 0

Zugehöriges x aus (I)

x + 0 = 1        ======> P(1| 0| 0) liegt auf g. 

Offenbar bringt z=0 setzen dann auch wieder den Punkt P.

Daher setzen wir nun y = 1. 

x-2+2z=1        (I)

 2x-1+z=2        (II)

x + 2z = 3       (I)

2x + z = 3       (II)

2x + 4z = 6

2x + z = 3

----------------    -

       3z = 3

==> z=1

Wegen (II)

x - 2 + 2 = 1

x = 1

Also Q( 1|1|1) liegt auf g.

Somit ist eine Geradengleichung für die Schnittgerade

g: r  = (1| 0| 0) + t * ( 0 | 1| 1) 

Dieser Gleichung siehst du an (0 oben im Richtungsvektor), dass sie parallel zur yz-Ebene (Aufrissebene) verläuft und dass sie die x-Achse im Punkt P(1|0|0) schneidet. 

Anmerkung. 1. Vektoren sind fett gedruckt. 2. Rechnung ohne Gewähr. 3. Kontrolle durch Vergleich mit der andern Antwort, zeigt, dass die beiden gefundenen Punkte den dort angegebenen Gleichungen x=1 und y=z genügen.