α so bestimmen, dass die Schnittgerade der Ebenen x+2*α*y+z=1 und 2x-y+z=4 durch den Punkt (1.5,-1,0) geht.

Question

bestimmt α so, dass die Schnittgerade der Ebenen durch den Punkt (1.5,-1,0) geht.

$$ { E }_{ 1 }:\quad x+2αy+z=1\\ { E }_{ 2 }:\quad 2x-y+z=4 $$

E₂ habe ich auf Paramterform umgewandelt:
$$ \xrightarrow { { e }_{ 2 } } =(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})+s(\begin{matrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{matrix})+t(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) $$

x=2-2s-2t
y=0-4s+0t
z=0+0s+4t

x, y und z in E₁ eingesetzt und nach t aufgelöst:
t=s+4αs-0,5

t in E₂ eingesetzt:
$$ (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{matrix})+s(\begin{matrix} -4-8α \\ -4 \\ 4+16α \end{matrix}) $$

Ist dieser Ansatz richtig? Wie rechnet man weiter?

Answer 1

Damit das durch den gegebenen Punkt geht, muss gelten

1,5 = 3 + s* ( -4 - 8a)
-1   =         -4s
0   =   -2 + s*( 4 + 16a)

die mittlere sagt:    s=0,25

und die beiden abderen damit

- 1,5 =  -1  -  2a      und      2 =  1  +   4a

-0,5  =  -2a              und       1  =  4a

a=  1/4                   und a= 1/4

Also liegt für a=1/4 der Punkt auf der Schnittgerade.