Bestimmung Schnittgerade von 2 Ebenen Parameterfreie Form ( ohne Punkt )

Question

Aufgabe:

Ich muss die Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen:

1. Gleichungen:

\( E: \vec{x} \cdot\left(\begin{array}{l}5 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)=4 \quad ; \quad H=\vec{x} \cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ -5 \\ 1\end{array}\right)=13 \)

Ergebnis zur Schnittgeraden:

\( g_{s}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)+\lambda \cdot\left(\begin{array}{c} 11 \\ -1 \\ -27 \end{array}\right) \)

2. Gleichungen:

\( E: \vec{x} \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)=5 \quad ; \quad H: \vec{x}\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)=5 \)

Ergebnis zur Schnittgeraden:

\( g_{s}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ -1 \end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) \)

Ansatz/Problem:

Ich weiß nicht, wie ich anhand der gegebenen Ebenen-Gleichungen den Stützvektor berechnen/erkennen kann.

Answer 1

Der Stützpunkt ist ein beliebiger Punkt auf der Schnittgeraden. Du musst also gar nicht den gleichen Punkt rausbekommen.

Dein Vektor x hat ja 3 Komponenten (x,y,z).

Lege einfach eine dieser Komponenten fest und bestimme dann die andern beiden via das sich ergebende lineare Gleichungssystem.

Bei a) kannst du x=0 setzen, damit du den Stützpunkt gut kontrollieren kannst, bei b) kannst du x=3 setzen.

Comments

Dann müsste aber mein beliebiger Punkt den ich selber ausrechne in die Ergebnis Gleichung rein passen oder?

also ich meine jz Beispielsweise ich würde den Vektor (5/-3/6) rausbekommen ( nur geraten ) könnte ich das so überprüfen?:

gs: (5/-3/6) = (0/-2/3) + k(11/-1/-27) 

und wenn ich dafür dan ein k Element von R rausbekomme, wäre die Lösung richtig,

oder kann ich mein Ergebnis nicht wirklich prüfen?

---

Doch. So kannst du das prüfen.

Das ist wie eine der Grundaufgaben: "Liegt P auf g?

---

Eine Alternative wäre noch, das folgendermassen zu prüfen: 

Berechne den Verbindungsvektor der beiden Stützpunkte. Er sollte ein Vielfaches des Richtungsvektors der Schnittgeraden sein, wenn beide Stützvektoren zur gleichen Geraden gehören.