Schnittgerade von Parameterebenen

Question

Aufgabe:

Bestimme eine Schnittgerade aus zwei Parametergleichungen

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\( E_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {3} \\ {2}\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-2} \\ {0}\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}{3} \\ {1} \\ {4}\end{array}\right) \)
\( E_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {5} \\ {2}\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right)+u \cdot\left(\begin{array}{c}{-2} \\ {1} \\ {3}\end{array}\right) \)


Problem/Ansatz:

Das Gleichungsystem der beiden Ebenen wurde aufgestellt, doch leider weiß ich jetzt nicht weiter. Wie löse ich das Gleichungssystem nach dem Gauß- Verfahren?

Answer 1

E₁ in Koordinatenform umwandeln (Vorgehen beschrieben in https://www.abiturma.de/mathe-lernen/geometrie/geometrische-objekte/umwandlung-parameterform-zu-koordinatenform)

Die drei Gleichungen aus E₂ einsetzen in E₁

Die Lösung ist die Schnittgerade.

Answer 2

Setzte beide Ebenengleichungen gleich. Dann bekommst Du 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Löse z.B. nach den Variablen \( r, s, t\) in Abhängigkeit von \( u \) auf.

Setze diese gefunden Werte \( r(u), s(u), t(u) \) separate in beide Ebenengleichungen ein, dann solltest Du beide male die gleiche Geradengleichung herausbekommen.