Untersuche die Reihen auf Konvergenz: an=1/7^n (3n tief n), an=(2n)!/((3n)^n * n!)

Question

Untersuche die Reihen zu \( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } \) auf Konvergenz:

$$a _ { n } : = \frac { 1 } { 7 ^ { n } } \left( \begin{array} { c } { 3 n } \\ { n } \end{array} \right)$$

$$a _ { n } : = \frac { ( 2 n ) ! } { ( 3 n ) ^ { n } \cdot n ! }$$

Answer 1

a)

7^{-n}·(3·n)!/(n!·(2·n)!)

Abschätzen durch

7^{-n}·n^n/((n/2)^n·n^n) = (7·n/2)^{-n} = (2/(7·n))^n

Mit dem Wurzelkriterium konvergiert diese Reihe

b)

an = (2·n)!/((3·n)^n·n!)

Abschätzen durch

an = (2·n/3)^n/((3·n)^n·(n/2)^n) = (4/(9·n))^{n}

Auch hier ergibt sich mit dem Wurzelkriterium, dass die Reihe konvergiert.