Untersuche die Reihen an = (n!)!^2 / 2^ (n^3) und an = 1/(n* ^n √(n+1) auf Konvergenz

Question

Untersuche die Reihen \( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } \) auf Konvergenz:

$$a _ { n } : = \frac { ( n ! ) ^ { 2 } } { 2 ^ { \left( n ^ { 2 } \right) } }$$

$$a _ { n } : = \frac { 1 } { n \sqrt[n]{ n + 1 } }$$

Answer 1

Man zeigt leicht per Induktion, dass  2ⁿ ≥ n + 1  für alle n ≥ 1  gilt.
Es folgt  n·ⁿ√(n+1) ≤ 2·n.
Da die harmonische Reihe bekanntlich divergiert, divergiert auch die Reihe b).